1. Đề bài
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 75 đến 76:
Cho cấp số cộng $(u_n)$ xác định bởi:
$$\begin{cases} u_1 + u_5 = 12 \\ u_2 + u_6 = 16 \end{cases}$$
Câu 75: Công sai $d$ của cấp số cộng $(u_n)$ là:
A. $d = 1$. B. $d = 2$. C. $d = 3$. D. $d = 4$.
Câu 76: Tính giá trị giới hạn $\lim_{n \to \infty} \frac{5u_n – 3}{n + 2}$.
A. 0. B. 5. C. 10. D. $+\infty$.
2. Công thức và phương pháp giải
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:
- Số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_n = u_1 + (n – 1)d$.
- Phương pháp: Đưa hệ phương trình về hai ẩn số là $u_1$ (số hạng đầu) và $d$ (công sai).
- Giới hạn dãy số: Khi tính giới hạn của hàm phân thức bậc nhất theo $n$, ta chia cả tử và mẫu cho $n$ (bậc cao nhất).
3. Bài giải chi tiết
Câu 75: Tìm công sai $d$
Từ hệ phương trình đề bài cho:
$$\begin{cases} u_1 + u_5 = 12 \\ u_2 + u_6 = 16 \end{cases}$$
Sử dụng công thức $u_n = u_1 + (n – 1)d$, ta biến đổi hệ như sau:
$$\begin{cases} u_1 + (u_1 + 4d) = 12 \\ (u_1 + d) + (u_1 + 5d) = 16 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2u_1 + 4d = 12 \\ 2u_1 + 6d = 16 \end{cases}$$
Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên, ta được:
$$(2u_1 + 6d) – (2u_1 + 4d) = 16 – 12$$
$$2d = 4 \Rightarrow \mathbf{d = 2}$$
Thay $d = 2$ vào phương trình $2u_1 + 4d = 12$:
$$2u_1 + 4(2) = 12 \Rightarrow 2u_1 = 4 \Rightarrow \mathbf{u_1 = 2}$$
=> Đáp án đúng: B.
Câu 76: Tính giá trị giới hạn
Trước hết, tìm công thức tổng quát của $u_n$:
$$u_n = u_1 + (n – 1)d = 2 + (n – 1)2 = 2 + 2n – 2 = 2n$$
Thay $u_n = 2n$ vào biểu thức giới hạn:
$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{5(2n) – 3}{n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{10n – 3}{n + 2}$$
Chia cả tử và mẫu cho $n$:
$$L = \lim_{n \to \infty} \frac{10 – \frac{3}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{10 – 0}{1 + 0} = \mathbf{10}$$
=> Đáp án đúng: C.
4. Mẹo giải nhanh trắc nghiệm
- Với Câu 75: Bạn có thể để ý quy luật: $u_2$ hơn $u_1$ đúng $d$, $u_6$ hơn $u_5$ đúng $d$. Vậy tổng $(u_2+u_6)$ sẽ hơn $(u_1+u_5)$ một lượng là $2d$.Tính ngay: $2d = 16 – 12 = 4 \Rightarrow d = 2$. (Mất chưa đầy 5 giây!)
- Với Câu 76: Khi $n$ tiến ra vô cùng, các hằng số $(-3, +2)$ không còn quan trọng. Giới hạn chỉ phụ thuộc vào hệ số của $n$.Hệ số của $u_n$ là $d=2$. Vậy tử số đại diện là $5 \times 2n = 10n$, mẫu số đại diện là $n$.Kết quả: $10n / n = 10$.