Danh mục: Chuyên đề

Bài 3.19: Trên sân bóng chày, các vị trí gôn Nhà ($H$), gôn 1 ($G_1$), gôn 2 ($G_2$), gôn 3 ($G_3$) tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4 m. Vị trí đứng ném bóng ($P$) nằm trên đường chéo nối gôn Nhà ($H$) với gôn 2 ($G_2$), và cách gôn Nhà một khoảng 18,44 m.

Yêu cầu: Tính khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng ($P$) tới gôn 1 ($G_1$) và gôn 3 ($G_3$).

Giải

Mô hình hóa các dữ kiện

• Gọi $H$ là gôn Nhà, $G_1$ là gôn 1, $G_2$ là gôn 2, $G_3$ là gôn 3.
• Tứ giác $HG_1G_2G_3$ là hình vuông cạnh $a = 27,4$ m.
• $P$ nằm trên đoạn $HG_2$ (đường chéo), với $HP = 18,44$ m.
• Vì $HG_2$ là đường chéo hình vuông nên $\widehat{PHG_1} = \widehat{PHG_3} = 45^\circ$.

Tính khoảng cách từ $P$ đến gôn 1 ($PG_1$)

Xét tam giác $HPG_1$ có:

• $HG_1 = 27,4$ m (cạnh hình vuông).
• $HP = 18,44$ m.
• Góc xen giữa $\widehat{PHG_1} = 45^\circ$.

Áp dụng định lý Cosin:

$$PG_1^2 = HP^2 + HG_1^2 – 2 \cdot HP \cdot HG_1 \cdot \cos(45^\circ)$$

$$PG_1^2 = (18,44)^2 + (27,4)^2 – 2 \cdot 18,44 \cdot 27,4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$PG_1^2 \approx 340,03 + 750,76 – 714,56 \approx 376,23$$

$$\Rightarrow PG_1 = \sqrt{376,23} \approx 19,4 \text{ (m)}$$

Tính khoảng cách từ $P$ đến gôn 3 ($PG_3$)

Do tính chất đối xứng của hình vuông qua đường chéo $HG_2$, ta có tam giác $HPG_1$ và tam giác $HPG_3$ bằng nhau (cạnh – góc – cạnh).

$$\Rightarrow PG_3 = PG_1 \approx 19,4 \text{ (m)}$$

Đáp số: Khoảng cách từ vị trí ném bóng tới gôn 1 và gôn 3 đều xấp xỉ 19,4 m.

Bài 3.18: Trên biển, tàu $B$ ở vị trí cách tàu $A$ một khoảng $53$ km về hướng $N34^\circ E$. Tàu $B$ bắt đầu chuyển động thẳng đều với vận tốc $v_B = 30$ km/h về hướng Đông. Cùng lúc đó, tàu $A$ chuyển động thẳng đều với vận tốc $v_A = 50$ km/h để đuổi kịp tàu $B$. Giả sử hai tàu gặp nhau tại điểm $C$.

• a) Hỏi tàu $A$ cần phải chuyển động theo hướng nào (xác định góc $\alpha = \widehat{BAC}$)?
• b) Sau bao lâu thì tàu $A$ đuổi kịp tàu $B$?

Giải

a) Xác định hướng chuyển động của tàu $A$

Tính góc $\widehat{ABC}$

Hướng của tàu $B$ so với tàu $A$ là $N34^\circ E$, nghĩa là góc hợp bởi hướng Bắc và $AB$ là $34^\circ$.

Tàu $B$ đi về hướng Đông (vuông góc với hướng Bắc).

Dựa vào hình vẽ 3.20, góc $\widehat{ABC}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh $B$ so với hướng Đông. Ta có góc hợp bởi $AB$ và hướng Tây là $90^\circ – 34^\circ = 56^\circ$.

Vì tàu $B$ đi về hướng Đông, góc $\widehat{ABC} = 180^\circ – 56^\circ = 124^\circ$.

Sử dụng định lý Sin tìm góc $\alpha$

Xét tam giác $ABC$, ta có:

$$\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}} = \frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} \iff \frac{30t}{\sin \alpha} = \frac{50t}{\sin 124^\circ}$$

Rút gọn $t$ ở cả hai vế (vì $t > 0$):

$$\frac{30}{\sin \alpha} = \frac{50}{\sin 124^\circ} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{30 \cdot \sin 124^\circ}{50}$$

$$\sin \alpha \approx \frac{30 \cdot 0,829}{50} \approx 0,4974$$

$$\Rightarrow \alpha \approx 29,83^\circ \text{ (hoặc xấp xỉ } 30^\circ\text{)}$$

Trả lời: Tàu $A$ cần chuyển động theo hướng tạo với $AB$ một góc $\alpha \approx 29,83^\circ$ về phía Đông.

b) Thời gian tàu $A$ đuổi kịp tàu $B$

Tính góc $\widehat{ACB}$

Tổng ba góc trong tam giác bằng $180^\circ$:

$$\widehat{ACB} = 180^\circ – (\widehat{ABC} + \alpha) = 180^\circ – (124^\circ + 29,83^\circ) = 26,17^\circ$$

Tính thời gian $t$

Áp dụng định lý Sin cho cặp cạnh $AB$ và $AC$:

$$\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}} = \frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} \iff \frac{53}{\sin 26,17^\circ} = \frac{50t}{\sin 124^\circ}$$

$$50t = \frac{53 \cdot \sin 124^\circ}{\sin 26,17^\circ}$$

$$50t \approx \frac{53 \cdot 0,829}{0,441} \approx 99,62$$

$$t \approx \frac{99,62}{50} \approx 1,99 \text{ (giờ)}$$

Trả lời: Sau khoảng 2 giờ thì tàu $A$ sẽ đuổi kịp tàu $B$.

Bài 3.17: Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $BC = a, AC = b, AB = c$. Chứng minh rằng:

• a) Nếu góc $A$ nhọn thì $b^2 + c^2 > a^2$;
• b) Nếu góc $A$ tù thì $b^2 + c^2 < a^2$;
• c) Nếu góc $A$ vuông thì $b^2 + c^2 = a^2$.

Giải

Áp dụng định lý Cosin cho tam giác $ABC$, ta luôn có:

$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cdot \cos A \iff b^2 + c^2 – a^2 = 2bc \cdot \cos A$$

a) Trường hợp góc $A$ nhọn

Nếu góc $A$ nhọn ($A < 90^\circ$) thì $\cos A > 0$.

Vì $2bc > 0$ và $\cos A > 0$ nên $2bc \cdot \cos A > 0$.

$$\Rightarrow b^2 + c^2 – a^2 > 0$$

$$\Rightarrow b^2 + c^2 > a^2 \text{ (Đpcm)}$$

b) Trường hợp góc $A$ tù

Nếu góc $A$ tù ($A > 90^\circ$) thì $\cos A < 0$.

Vì $2bc > 0$ và $\cos A < 0$ nên $2bc \cdot \cos A < 0$.

$$\Rightarrow b^2 + c^2 – a^2 < 0$$

$$\Rightarrow b^2 + c^2 < a^2 \text{ (Đpcm)}$$

c) Trường hợp góc $A$ vuông

Nếu góc $A$ vuông ($A = 90^\circ$) thì $\cos A = \cos 90^\circ = 0$.

Khi đó: $2bc \cdot \cos A = 2bc \cdot 0 = 0$.

$$\Rightarrow b^2 + c^2 – a^2 = 0$$

$$\Rightarrow b^2 + c^2 = a^2 \text{ (Đây chính là định lý Pythagoras)}$$

Bài 3.16: Cho tam giác $ABC$ có $AM$ là đường trung tuyến (với $M$ là trung điểm của $BC$). Chứng minh rằng:

a) $\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0$

b) $MA^2 + MB^2 – AB^2 = 2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}$ và $MA^2 + MC^2 – AC^2 = 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$

c) $MA^2 = \frac{2(AB^2 + AC^2) – BC^2}{4}$ (Công thức đường trung tuyến)

Giải

a) Chứng minh $\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0$

Vì $M$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ nên hai góc $\widehat{AMB}$ và $\widehat{AMC}$ là hai góc kề bù.

$$\Rightarrow \widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^\circ$$

Theo tính chất lượng giác của hai góc bù nhau:

$$\cos \widehat{AMC} = \cos(180^\circ – \widehat{AMB}) = -\cos \widehat{AMB}$$

$$\Rightarrow \cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0 \text{ (Đpcm)}$$

b) Chứng minh các hệ thức về bình phương cạnh

Áp dụng định lý Cosin cho:

Tam giác $AMB$: $AB^2 = MA^2 + MB^2 – 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}$

Chuyển vế ta được: $MA^2 + MB^2 – AB^2 = 2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}$

Tam giác $AMC$: $AC^2 = MA^2 + MC^2 – 2 \cdot MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$

Chuyển vế ta được: $MA^2 + MC^2 – AC^2 = 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$

c) Chứng minh công thức đường trung tuyến

Từ câu (b), ta có hai đẳng thức. Hãy cộng chúng lại với nhau:

$$(MA^2 + MB^2 – AB^2) + (MA^2 + MC^2 – AC^2) = 2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB} + 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$$

Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $MB = MC = \frac{BC}{2}$.

Thay vào:

$$2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB} + 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC} = 2MA \cdot MB \cdot (\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC})$$

Theo kết quả câu (a), $\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0$

Do đó,

$2MA \cdot MB \cdot (\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC}) = 0$.

Khi đó:

$$2MA^2 + MB^2 + MC^2 – (AB^2 + AC^2) = 0$$

$$2MA^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = AB^2 + AC^2$$

$$2MA^2 + \frac{BC^2}{4} + \frac{BC^2}{4} = AB^2 + AC^2$$

$$2MA^2 + \frac{BC^2}{2} = AB^2 + AC^2$$

Nhân cả hai vế với 2:

$$4MA^2 + BC^2 = 2(AB^2 + AC^2)$$

$$\Rightarrow 4MA^2 = 2(AB^2 + AC^2) – BC^2$$

$$\Rightarrow MA^2 = \frac{2(AB^2 + AC^2) – BC^2}{4} \text{ (Đpcm)}$$

Bài 3.11: Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng qua các điểm $A, B, C, D$ như Hình 3.19. Người ta dự định làm một đường hầm thẳng nối từ $A$ đến $D$ để rút ngắn khoảng cách.

Giải

Tính độ dài đường cũ

Độ dài đường cũ là:

$$S_1 = AB + BC + CD = 8 + 6 + 12 = 26 \text{ (km)}$$

Tính độ dài đường chéo $AC$

Xét tam giác $ABC$, áp dụng định lý Cosin:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{ABC})$$

$$AC^2 = 8^2 + 6^2 – 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(105^\circ)$$

$$AC^2 = 64 + 36 – 96 \cdot \cos(105^\circ) \approx 124,85$$

$$\Rightarrow AC \approx 11,17 \text{ (km)}$$

Tính góc $\widehat{ACB}$

Áp dụng định lý Cosin để tìm góc:

$$\cos(\widehat{ACB}) = \frac{BC^2 + AC^2 – AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC} = \frac{6^2 + 124,85 – 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 11,17} \approx 0,723$$

$$\Rightarrow \widehat{ACB} \approx 43,7^\circ$$

Tính góc $\widehat{ACD}$

Ta có: $\widehat{ACD} = \widehat{BCD} – \widehat{ACB} = 135^\circ – 43,7^\circ = 91,3^\circ$

Tính độ dài đường hầm $AD$

Xét tam giác $ACD$, áp dụng định lý Cosin:

$$AD^2 = AC^2 + CD^2 – 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\widehat{ACD})$$

$$AD^2 = 124,85 + 12^2 – 2 \cdot 11,17 \cdot 12 \cdot \cos(91,3^\circ)$$

$$AD^2 \approx 124,85 + 144 – 268,08 \cdot (-0,0227) \approx 274,93$$

$$\Rightarrow AD \approx 16,58 \text{ (km)}$$

Tính khoảng cách giảm được

Độ dài quãng đường giảm được là:

$$\Delta S = S_1 – AD = 26 – 16,58 = 9,42 \text{ (km)}$$

Đáp số: Quãng đường mới giảm khoảng 9,42 km so với đường cũ.

Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được) bằng các dụng cụ đo góc và đo khoảng cách trên đất liền.

Giải

Bước 1: Thiết lập sơ đồ đo

• Gọi $C$ và $D$ là hai đầu mút của hòn đảo mà ta cần đo bề rộng.
• Trên bờ biển, chọn hai điểm $A$ và $B$ cách nhau một khoảng $d$ (khoảng cách $d$ này ta có thể đo trực tiếp bằng thước dây hoặc máy laser).

Bước 2: Tiến hành đo góc

Tại điểm $A$ và $B$, dùng giác kế đo các góc sau:

• Tại $A$: Đo góc $\widehat{CAB} = \alpha_1$ và $\widehat{DAB} = \alpha_2$.
• Tại $B$: Đo góc $\widehat{CBA} = \beta_1$ và $\widehat{DBA} = \beta_2$.

Bước 3: Tính toán các cạnh trung gian

• Xét tam giác $ABC$: Ta có góc $\widehat{ACB} = 180^\circ – (\alpha_1 + \beta_1)$.Áp dụng định lý Sin: $AC = \frac{AB \cdot \sin \beta_1}{\sin \widehat{ACB}}$.
• Xét tam giác $ABD$: Ta có góc $\widehat{ADB} = 180^\circ – (\alpha_2 + \beta_2)$.Áp dụng định lý Sin: $AD = \frac{AB \cdot \sin \beta_2}{\sin \widehat{ADB}}$.

Bước 4: Tính bề rộng hòn đảo ($CD$)

• Xét tam giác $ACD$: Ta đã biết cạnh $AC$, cạnh $AD$ và góc $\widehat{CAD} = |\alpha_1 – \alpha_2|$.
• Áp dụng định lý Côsin:$$CD = \sqrt{AC^2 + AD^2 – 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\widehat{CAD})}$$

Kết luận: Giá trị $CD$ chính là bề rộng của hòn đảo cần xác định.

Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao $5\text{ m}$ (đoạn $BC = 5\text{ m}$). Từ một vị trí quan sát $A$ cao $7\text{ m}$ so với mặt đất, người ta nhìn thấy đỉnh $B$ của cột với góc nâng $50^\circ$ và chân $C$ của cột với góc nâng $40^\circ$ so với phương nằm ngang.

Giải

a) Tính các góc của tam giác $ABC$

Gọi $Ax$ là đường nằm ngang đi qua $A$. Theo đề bài: $\widehat{xAB} = 50^\circ$ và $\widehat{xAC} = 40^\circ$.

• Góc $\widehat{BAC}$:$$\widehat{BAC} = \widehat{xAB} – \widehat{xAC} = 50^\circ – 40^\circ = 10^\circ$$
• Góc $\widehat{ABC}$:Trong tam giác vuông tạo bởi $B$ và đường nằm ngang $Ax$ (gọi hình chiếu của $B$ lên $Ax$ là $H$), ta có $\widehat{ABH} = 90^\circ – 50^\circ = 40^\circ$.Vì cột ăng-ten $BC$ thẳng đứng nên nó vuông góc với $Ax$. Suy ra $\widehat{ABC} = 90^\circ – 50^\circ = \mathbf{40^\circ}$.
• Góc $\widehat{ACB}$:$$\widehat{ACB} = 180^\circ – (\widehat{BAC} + \widehat{ABC}) = 180^\circ – (10^\circ + 40^\circ) = \mathbf{130^\circ}$$

b) Tính chiều cao của tòa nhà

Tính cạnh $AC$

Áp dụng định lý Sin trong tam giác $ABC$:

$$\frac{BC}{\sin(\widehat{BAC})} = \frac{AC}{\sin(\widehat{ABC})} \Rightarrow \frac{5}{\sin(10^\circ)} = \frac{AC}{\sin(40^\circ)}$$

$$AC = \frac{5 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(10^\circ)} \approx \frac{5 \cdot 0,6428}{0,1736} \approx 18,51 \text{ (m)}$$

Tính độ cao của điểm $C$ so với vị trí $A$

Gọi $CH$ là khoảng cách thẳng đứng từ $C$ đến đường nằm ngang $Ax$. Trong tam giác vuông $ACH$ tại $H$:

$$CH = AC \cdot \sin(\widehat{xAC}) = 18,51 \cdot \sin(40^\circ) \approx 18,51 \cdot 0,6428 \approx 11,9 \text{ (m)}$$

Chiều cao tòa nhà

Chiều cao tòa nhà là tổng độ cao của vị trí $A$ so với mặt đất và độ cao chênh lệch $CH$:

$$h = 7 + CH = 7 + 11,9 = \mathbf{18,9 \text{ (m)}}$$

Bài 3.8: Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng $A$, đi theo hướng $S70^\circ E$ với vận tốc $70 \text{ km/h}$. Sau khi đi được 90 phút, động cơ tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng Nam với vận tốc $8 \text{ km/h}$. Sau 2 giờ kể từ khi hỏng động cơ, tàu neo đậu được vào một hòn đảo (gọi là đảo $C$).

Giải

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo ($AC$)

Áp dụng định lý Côsin trong tam giác $ABC$:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\hat{B})$$

$$AC^2 = 105^2 + 16^2 – 2 \cdot 105 \cdot 16 \cdot \cos(110^\circ)$$

$$AC^2 = 11025 + 256 – 3360 \cdot (-0,342)$$

$$AC^2 \approx 11281 + 1149,12 = 12430,12$$

$$\Rightarrow AC \approx \sqrt{12430,12} \approx \mathbf{111,49 \text{ (km)}}$$

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo

Ta cần tìm góc $\widehat{SAC}$ (góc hợp bởi $AC$ và trục Bắc-Nam). Gọi $\alpha$ là góc $\widehat{BAC}$.

Áp dụng định lý Sin:

$$\frac{BC}{\sin(\hat{A})} = \frac{AC}{\sin(\hat{B})} \Rightarrow \sin(\hat{A}) = \frac{16 \cdot \sin(110^\circ)}{111,49}$$

$$\sin(\hat{A}) \approx \frac{16 \cdot 0,9397}{111,49} \approx 0,1348$$

$$\Rightarrow \hat{A} \approx 7,7^\circ$$

Xác định hướng:

• Hướng $AB$ lệch so với hướng Nam $70^\circ$ về phía Đông.
• Vì tàu trôi thêm về hướng Nam, nên tia $AC$ sẽ nằm “giữa” tia $AB$ và tia hướng Nam.
• Góc của $AC$ so với hướng Nam là: $70^\circ – 7,7^\circ = 62,3^\circ$.
• Kết luận: Hướng từ $A$ đến đảo là $S62,3^\circ E$.

Vận dụng 3: Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác $ABCDE$ như Hình 3.17. Các khoảng cách giữa các đỉnh được xác định như sau:

Giải

Tính diện tích $\triangle BCD$

Cạnh $BC=575, CD=441, DB=538$.

Nửa chu vi $p_1 = \frac{575 + 441 + 538}{2} = 777 \text{ (m)}$.

$S_{BCD} = \sqrt{777(777-575)(777-441)(777-538)} \approx 112.385,6 \text{ (m}^2\text{)}$.

Tính diện tích $\triangle BDE$

Cạnh $BD=538, DE=217, EB=476$.

Nửa chu vi $p_2 = \frac{538 + 217 + 476}{2} = 615,5 \text{ (m)}$.

$S_{BDE} = \sqrt{615,5(615,5-538)(615,5-217)(615,5-476)} \approx 51.495,1 \text{ (m}^2\text{)}$.

Tính diện tích $\triangle ABE$

Cạnh $AB=256, BE=476, EA=401$.

Nửa chu vi $p_3 = \frac{256 + 476 + 401}{2} = 566,5 \text{ (m)}$.

$S_{ABE} = \sqrt{566,5(566,5-256)(566,5-476)(566,5-401)} \approx 51.327,1 \text{ (m}^2\text{)}$.

Tổng diện tích công viên

$$S_{ABCDE} = S_{BCD} + S_{BDE} + S_{ABE}$$

$$S_{ABCDE} \approx 112.385,6 + 51.495,1 + 51.327,1 = 215.207,8 \text{ (m}^2\text{)}$$

Kết luận: Diện tích công viên Hòa Bình khoảng

$215.208 \text{ m}^2$.

Thảo luận: Ta đã biết cách tính $\cos A$ theo độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ thông qua định lý côsin. Liệu $\sin A$ và diện tích $S$ có tính được trực tiếp theo độ dài các cạnh $a, b, c$ của tam giác $ABC$ hay không?

Giải

Xuất phát từ diện tích theo $\sin$

Ta đã biết diện tích tam giác $ABC$ là:

$$S = \frac{1}{2}bc \sin A$$

Để mất $\sin A$, ta bình phương hai vế:

$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 \sin^2 A$$

Sử dụng công thức $\sin^2 A = 1 – \cos^2 A$:

$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 (1 – \cos^2 A) = \frac{1}{4}b^2c^2 (1 – \cos A)(1 + \cos A) \quad (1)$$

Thay định lý Côsin vào

Theo định lý Côsin: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$. Thay vào $(1)$:

$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 \left( 1 – \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right) \left( 1 + \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right)$$

Quy đồng mẫu số bên trong các ngoặc:

$$S^2 = \frac{1}{4}b^2c^2 \left( \frac{2bc – b^2 – c^2 + a^2}{2bc} \right) \left( \frac{2bc + b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \right)$$

Sử dụng hằng đẳng thức để nhóm nhân tử

Rút gọn $b^2c^2$ ở tử và mẫu ($2bc \cdot 2bc = 4b^2c^2$):

$$S^2 = \frac{1}{16} [a^2 – (b – c)^2] [(b + c)^2 – a^2]$$

Tiếp tục dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $X^2 – Y^2 = (X-Y)(X+Y)$:

$$S^2 = \frac{1}{16} (a – b + c)(a + b – c)(b + c – a)(b + c + a)$$

Biểu diễn qua nửa chu vi $p$

Đặt $a + b + c = 2p$. Khi đó:

• $b + c + a = 2p$
• $b + c – a = (a + b + c) – 2a = 2p – 2a = 2(p – a)$
• $a + c – b = (a + b + c) – 2b = 2p – 2b = 2(p – b)$
• $a + b – c = (a + b + c) – 2c = 2p – 2c = 2(p – c)$

Thay các biểu thức này vào công thức $S^2$:

$$S^2 = \frac{1}{16} \cdot 2(p-b) \cdot 2(p-c) \cdot 2(p-a) \cdot 2p$$

$$S^2 = \frac{16}{16} \cdot p(p-a)(p-b)(p-c)$$

$$S^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)$$

Kết luận: Lấy căn bậc hai hai vế, ta được điều phải chứng minh:

$$S = \sqrt{p(p – a)(p – b)(p – c)}$$