Trong Hình 3.6, hai điểm $M, N$ ứng với hai góc phụ nhau $\alpha$ và $90^\circ – \alpha$ ($\widehat{xOM} = \alpha$, $\widehat{xON} = 90^\circ – \alpha$).
- Chứng minh rằng $\triangle MOP = \triangle NOQ$.
- Từ đó nêu mối quan hệ giữa $\cos \alpha$ và $\sin(90^\circ – \alpha)$.
Giải
a) Chứng minh $\triangle MOP = \triangle NOQ$
- Xét hai tam giác vuông $\triangle MOP$ (vuông tại $P$) và $\triangle NOQ$ (vuông tại $Q$):
- Ta có: $OM = ON = 1$ (cùng là bán kính của nửa đường tròn đơn vị).
- Góc $\widehat{MOP} = \alpha$.
- Góc $\widehat{NOQ} = 90^\circ – \widehat{xON} = 90^\circ – (90^\circ – \alpha) = \alpha$.
- Vậy $\widehat{MOP} = \widehat{NOQ} = \alpha$.
- Suy ra: $\triangle MOP = \triangle NOQ$ (cạnh huyền – góc nhọn).
b) Mối quan hệ giữa $\cos \alpha$ và $\sin(90^\circ – \alpha)$
- Từ kết quả hai tam giác bằng nhau, ta có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau:
- $OP = OQ$
- Mà trong đường tròn đơn vị:
- $OP$ là hoành độ của điểm $M$, nên $OP = \cos \alpha$.
- $OQ$ là tung độ của điểm $N$ (ứng với góc $90^\circ – \alpha$), nên $OQ = \sin(90^\circ – \alpha)$.
- Từ đó suy ra: $\cos \alpha = \sin(90^\circ – \alpha)$.
“Cos đối, Sin bù, Phụ chéo”. Hai góc phụ nhau thì giá trị lượng giác của chúng sẽ chéo nhau (Sin góc này bằng Cos góc kia)!