Chứng minh các hệ thức sau:
- a) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
- b) $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ ($\alpha \neq 90^\circ$)
- c) $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$)
Giải
a) Chứng minh $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
- Lấy điểm $M(x; y)$ nằm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$.
- Theo định nghĩa: $x = \cos \alpha$ và $y = \sin \alpha$.
- Điểm $M$ nằm trên đường tròn đơn vị tâm $O(0;0)$ bán kính $R = 1$, nên khoảng cách $OM = 1$.
- Theo công thức khoảng cách (hoặc định lý Pythagore trong tam giác vuông $OHM$):$x^2 + y^2 = OM^2 = 1^2$
- Thay $x, y$ vào ta được: $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ (Đpcm).
b) Chứng minh $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$
- Ta có vế trái: $VT = 1 + \tan^2 \alpha$
- Thay $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:$VT = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$
- Từ kết quả câu a, ta biết $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, thay vào:$VT = \frac{1}{\cos^2 \alpha} = VP$ (Đpcm).
c) Chứng minh $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$
- Ta có vế trái: $VT = 1 + \cot^2 \alpha$
- Thay $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$:$VT = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$
- Tương tự câu a, thay $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$:$VT = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = VP$ (Đpcm).