Định lí sin
Trong tam giác $ABC$, với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta luôn có hệ thức:
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
Trong đó:
- $a, b, c$ lần lượt là độ dài của các cạnh đối diện với các góc $\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}$.
- $R$ là bán kính của đường tròn đi qua ba đỉnh $A, B, C$ (đường tròn ngoại tiếp).
Giải
a) Trường hợp góc $\hat{A}$ nhọn
Ta có $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BMC}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BC$.
$\implies \widehat{BAC} = \widehat{BMC}$ (hay $\hat{A} = \hat{M}$).
$\implies \sin A = \sin M$.
Xét $\triangle BCM$ vuông tại $C$ (do $\widehat{BCM}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $BM = 2R$).
Trong tam giác vuông $BCM$, ta có:
$$\sin M = \frac{BC}{BM} = \frac{a}{2R}$$
Vì $\sin A = \sin M$, suy ra $\sin A = \frac{a}{2R}$.
Kết luận: $R = \frac{a}{2 \sin A}$.
b) Trường hợp góc $\hat{A}$ tù
Tứ giác $ABMC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, nên tổng hai góc đối diện bằng $180^\circ$:
$\widehat{BAC} + \widehat{BMC} = 180^\circ \implies \hat{M} = 180^\circ – \hat{A}$.
Theo tính chất lượng giác của hai góc bù nhau:
$\sin M = \sin(180^\circ – A) = \sin A$.
Xét $\triangle BCM$ vuông tại $C$ (do $\widehat{BCM}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính $BM = 2R$).
Trong tam giác vuông $BCM$, ta có:
$$\sin M = \frac{BC}{BM} = \frac{a}{2R}$$
Vì $\sin A = \sin M$, suy ra $\sin A = \frac{a}{2R}$.
Kết luận: $R = \frac{a}{2 \sin A}$.