Chứng minh: $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ (với $|q| < 1$)
Giải
Trường hợp 1:
Nếu $q = 0$, hiển nhiên $q^n = 0$ với mọi $n \geq 1$, nên giới hạn bằng $0$.
Trường hợp 2:
Nếu $0 < |q| < 1$,
Đặt $|q| = \frac{1}{1+a}$ với $a > 0$ (vì $|q| < 1$ nên nghịch đảo của nó phải lớn hơn $1$).
Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli:
$(1+a)^n \geq 1 + na > na$.
Từ đó ta có:
$$|q^n| = |q|^n = \frac{1}{(1+a)^n} < \frac{1}{na}$$
Để $|q^n| < \varepsilon$, ta chỉ cần chọn $n$ sao cho $\frac{1}{na} < \varepsilon \iff n > \frac{1}{a\varepsilon}$.
Chọn $n_0$
$n_0 = \left[ \frac{1}{a\varepsilon} \right]$
Kết luận:
Với mọi $n > n_0$, ta có $|q^n| < \frac{1}{na} < \varepsilon$.
Vậy theo định nghĩa:
$\mathbf{\lim_{n \to +\infty} q^n = 0}$.