1. Đề bài
Câu 68: Cho tam giác $ABC$ có $a, b, c$ lần lượt là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh $A, B, C$. Biết $b(b^2 – a^2) = c(a^2 – c^2)$, khi đó số đo của góc $A$ bằng:
A. $30^\circ$.
B. $45^\circ$.
C. $60^\circ$.
D. $120^\circ$.
Chọn đáp án C.
2. Công thức và Phương pháp giải
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng các kiến thức sau:
- Định lý Cosin: Trong tam giác $ABC$, ta có:$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cdot \cos A \implies \cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc}$$
- Phương pháp: Biến đổi biểu thức đại số đã cho để làm xuất hiện cụm $(b^2 + c^2 – a^2)$, từ đó thay thế vào công thức tính $\cos A$.
3. Bài giải chi tiết
Từ giả thiết của đề bài:
$$b(b^2 – a^2) = c(a^2 – c^2)$$
Bước 1: Khai triển và nhóm các hạng tử
$$b^3 – ba^2 = ca^2 – c^3$$
$$b^3 + c^3 – ba^2 – ca^2 = 0$$
Bước 2: Sử dụng hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung
- Nhóm $(b^3 + c^3)$ và $-(ba^2 + ca^2)$:$$(b + c)(b^2 – bc + c^2) – a^2(b + c) = 0$$
- Đặt $(b + c)$ làm nhân tử chung:$$(b + c)(b^2 – bc + c^2 – a^2) = 0$$
Bước 3: Biện luận
Vì $b$ và $c$ là độ dài các cạnh của tam giác nên $b + c > 0$. Do đó, ta phải có:
$$b^2 – bc + c^2 – a^2 = 0$$
$$\implies b^2 + c^2 – a^2 = bc$$
Bước 4: Tính góc A
Thay kết quả trên vào công thức định lý Cosin:
$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2}$$
Vì $0^\circ < A < 180^\circ$, suy ra $A = 60^\circ$.
Chọn đáp án C.
4. Cách làm nhanh Trắc nghiệm
Khi làm trắc nghiệm, bạn có thể “nhẩm” nhanh theo các bước sau để tiết kiệm thời gian:
- Nhìn nhanh cấu trúc: Thấy $b^3$ và $c^3$ ở hai vế ngược dấu, hãy chuyển chúng về một bên để tạo hằng đẳng thức tổng hai lập phương: $(b+c)(b^2 – bc + c^2)$.
- Gom cụm $a^2$: Hai hạng tử còn lại là $-ba^2$ và $-ca^2$, gom lại thành $-a^2(b+c)$.
- Triệt tiêu $b+c$: Vì $b+c \neq 0$, bạn chỉ cần quan tâm đến phần còn lại: $b^2 – bc + c^2 – a^2 = 0$.
- Định lý Cosin thu gọn: Nhận ra $b^2 + c^2 – a^2 = bc$. Chia cả hai vế cho $2bc$, ta có ngay $\cos A = \frac{1}{2}$.
- Kết luận: $\cos A = 0.5 \rightarrow A = 60^\circ$.