1. Đề bài
Câu 70: Cho hàm số $y = x \cdot e^x$. Tập nghiệm của bất phương trình $y” – y’ – y > 0$ là:
A. $(-1; +\infty)$.
B. $(+\infty; 1)$.
C. $(1; +\infty)$.
D. $(+\infty; -1)$.
2. Công thức và Lý thuyết
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng các kiến thức sau:
- Đạo hàm của tích: $(u \cdot v)’ = u’v + uv’$.
- Đạo hàm hàm số mũ: $(e^x)’ = e^x$.
- Đạo hàm cấp hai: $y” = (y’)’$.
- Giải bất phương trình tích: Lưu ý rằng $e^x > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, nên ta có thể chia cả hai vế cho $e^x$ mà không làm đổi chiều bất phương trình.
3. Bài giải chi tiết
Bước 1: Tính đạo hàm cấp một ($y’$)
Sử dụng công thức đạo hàm của tích với $u=x$ và $v=e^x$:
$$y’ = (x)’ \cdot e^x + x \cdot (e^x)’$$
$$y’ = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1 + x)e^x$$
Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai ($y”$)
Tiếp tục đạo hàm biểu thức vừa tìm được:
$$y” = [(1 + x)e^x]’ = (1 + x)’ \cdot e^x + (1 + x) \cdot (e^x)’$$
$$y” = 1 \cdot e^x + (1 + x)e^x = (1 + 1 + x)e^x = (2 + x)e^x$$
Bước 3: Thay vào bất phương trình $y” – y’ – y > 0$
$$(2 + x)e^x – (1 + x)e^x – x e^x > 0$$
Đặt $e^x$ làm nhân tử chung:
$$e^x \cdot [(2 + x) – (1 + x) – x] > 0$$
$$e^x \cdot [2 + x – 1 – x – x] > 0$$
$$e^x \cdot (1 – x) > 0$$
Bước 4: Giải bất phương trình
Vì $e^x > 0$ với mọi $x$, ta chỉ cần:
$$1 – x > 0 \Leftrightarrow x < 1$$
Vậy tập nghiệm là $(-\infty; 1)$.
Lưu ý về đáp án: Nhìn vào các lựa chọn trong ảnh, dường như có một sự nhầm lẫn nhỏ ở đề bài hoặc đáp án. Kết quả tính toán chính xác là $x < 1$. Tuy nhiên, nếu đề bài là $y’ + y – y” > 0$ hoặc một biến thể khác, kết quả sẽ khác. Dựa trên các lựa chọn hiện có, không có phương án nào khớp hoàn toàn với $(-\infty; 1)$. Nếu đây là lỗi đánh máy của đề và ý là $x > 1$, đáp án sẽ là C.
4. Cách làm nhanh – Trắc nghiệm
- Nhận xét nhanh đạo hàm cấp $n$: Đối với hàm $y = x e^x$, đạo hàm cấp $n$ có dạng tổng quát là $y^{(n)} = (x + n)e^x$.
- $y’ = (x + 1)e^x$
- $y” = (x + 2)e^x$
- Thế nhanh vào bất phương trình:$$(x+2)e^x – (x+1)e^x – x e^x > 0 \Rightarrow x+2 – x-1 – x > 0 \Rightarrow 1-x > 0 \Rightarrow x < 1.$$
- Kiểm tra đáp án bằng máy tính: Nhập $y” – y’ – y$ vào máy tính (dùng tính năng đạo hàm $d/dx$ tại một điểm cụ thể). Thử với $x=0$ (thuộc tập $x<1$), nếu kết quả $>0$ thì giá trị đó đúng.