Bài 3.17: Cho tam giác $ABC$ có các cạnh $BC = a, AC = b, AB = c$. Chứng minh rằng:
- a) Nếu góc $A$ nhọn thì $b^2 + c^2 > a^2$;
- b) Nếu góc $A$ tù thì $b^2 + c^2 < a^2$;
- c) Nếu góc $A$ vuông thì $b^2 + c^2 = a^2$.
Giải
Áp dụng định lý Cosin cho tam giác $ABC$, ta luôn có:
$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cdot \cos A \iff b^2 + c^2 – a^2 = 2bc \cdot \cos A$$
a) Trường hợp góc $A$ nhọn
Nếu góc $A$ nhọn ($A < 90^\circ$) thì $\cos A > 0$.
Vì $2bc > 0$ và $\cos A > 0$ nên $2bc \cdot \cos A > 0$.
$$\Rightarrow b^2 + c^2 – a^2 > 0$$
$$\Rightarrow b^2 + c^2 > a^2 \text{ (Đpcm)}$$
b) Trường hợp góc $A$ tù
Nếu góc $A$ tù ($A > 90^\circ$) thì $\cos A < 0$.
Vì $2bc > 0$ và $\cos A < 0$ nên $2bc \cdot \cos A < 0$.
$$\Rightarrow b^2 + c^2 – a^2 < 0$$
$$\Rightarrow b^2 + c^2 < a^2 \text{ (Đpcm)}$$
c) Trường hợp góc $A$ vuông
Nếu góc $A$ vuông ($A = 90^\circ$) thì $\cos A = \cos 90^\circ = 0$.
Khi đó: $2bc \cdot \cos A = 2bc \cdot 0 = 0$.
$$\Rightarrow b^2 + c^2 – a^2 = 0$$
$$\Rightarrow b^2 + c^2 = a^2 \text{ (Đây chính là định lý Pythagoras)}$$