Trong Hình 3.8, thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính $a$ theo $b, c$ và giá trị lượng giác của góc $A$:
a) Tính $a^2$ theo $BD^2$ và $CD^2$.
b) Tính $a^2$ theo $b, c$ và $DA$.
c) Tính $DA$ theo $c$ và $\cos A$.
d) Chứng minh $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$.
Giải
a) Tính $a^2$ theo $BD^2$ và $CD^2$:
Xét tam giác $BDC$ vuông tại $D$, theo định lý Pythagore:
$$a^2 = BC^2 = BD^2 + CD^2$$
b) Tính $a^2$ theo $b, c$ và $DA$:
Ta có: $CD = AC + AD = b + DA$.
Trong tam giác vuông $ABD$: $BD^2 = AB^2 – DA^2 = c^2 – DA^2$.
Thay vào biểu thức ở câu a:
$$a^2 = (c^2 – DA^2) + (b + DA)^2$$
$$a^2 = c^2 – DA^2 + b^2 + 2b \cdot DA + DA^2$$
$$a^2 = b^2 + c^2 + 2b \cdot DA$$
c) Tính $DA$ theo $c$ và $\cos A$:
Xét tam giác vuông $ABD$, góc $\widehat{DAB}$ kề bù với góc $A$ của tam giác $ABC$.
$\widehat{DAB} = 180^\circ – A$.
Trong tam giác vuông $ABD$: $DA = AB \cdot \cos(\widehat{DAB}) = c \cdot \cos(180^\circ – A)$.
Vì $\cos(180^\circ – A) = -\cos A$, nên: $DA = -c \cos A$.
d) Chứng minh hệ thức:
Thay $DA = -c \cos A$ vào biểu thức ở câu b:
$$a^2 = b^2 + c^2 + 2b(-c \cos A)$$
$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$$