Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$.
- a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.
- b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ $u_n$ đến $0$ nhỏ hơn 0,01?
Giải
a) Biểu diễn năm số hạng đầu trên trục số
Ta tính giá trị 5 số hạng đầu tiên:
- $u_1 = \frac{(-1)^1}{1} = -1$
- $u_2 = \frac{(-1)^2}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$
- $u_3 = \frac{(-1)^3}{3} = -\frac{1}{3} \approx -0,33$
- $u_4 = \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4} = 0,25$
- $u_5 = \frac{(-1)^5}{5} = -\frac{1}{5} = -0,2$
b) Tìm số hạng thỏa mãn khoảng cách đến 0 nhỏ hơn 0,01
Khoảng cách từ $u_n$ đến $0$ là $|u_n|$. Ta có:
$$|u_n| = \left| \frac{(-1)^n}{n} \right| = \frac{1}{n}$$
Để khoảng cách này nhỏ hơn 0,01, ta cần:
$$\frac{1}{n} < 0,01$$
$$\Leftrightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{100}$$
$$\Leftrightarrow n > 100$$
(vì $n$ là số nguyên dương)
Kết luận:
Kể từ số hạng thứ 101 trở đi (tức là $n \ge 101$), khoảng cách từ $u_n$ đến $0$ sẽ nhỏ hơn 0,01.