📝 Đề bài
Câu 62: Cho phương trình $\sqrt{-x^2 + mx} = 2x – 1$ với $m$ là tham số thực. Tập hợp tất cả giá trị của $m$ để phương trình trên vô nghiệm là:
A. $\left( \frac{1}{2}; \infty \right)$.
B. $\left( \frac{1}{2}; 2 \right)$.
C. $\left( -\infty; \frac{1}{2} \right]$.
D. $(-\infty; 2)$.
📚 Công thức và Lý thuyết
Đối với phương trình dạng $\sqrt{f(x)} = g(x)$, ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau:
$$\sqrt{f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \begin{cases} g(x) \geq 0 \\ f(x) = [g(x)]^2 \end{cases}$$
Lưu ý: Chúng ta không cần đặt điều kiện $f(x) \geq 0$ vì nó đã bằng một bình phương ($[g(x)]^2$) nên hiển nhiên không âm.
Phương pháp giải bài toán chứa tham số:
- Biến đổi phương trình về dạng $m = h(x)$ (cô lập tham số).
- Tìm điều kiện của $x$ từ bất phương trình $g(x) \geq 0$.
- Khảo sát hàm số $h(x)$ trên miền xác định của $x$ để tìm điều kiện có nghiệm.
- Lấy phần bù để tìm giá trị $m$ khiến phương trình vô nghiệm.
✍️ Bài giải chi tiết
Bước 1: Biến đổi phương trình
$$\sqrt{-x^2 + mx} = 2x – 1 \Leftrightarrow \begin{cases} 2x – 1 \geq 0 \\ -x^2 + mx = (2x – 1)^2 \end{cases}$$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq \frac{1}{2} \\ -x^2 + mx = 4x^2 – 4x + 1 \end{cases}$$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} x \geq \frac{1}{2} \\ mx = 5x^2 – 4x + 1 \end{cases}$$
Bước 2: Cô lập $m$
Vì $x \geq \frac{1}{2} > 0$, ta có thể chia cả hai vế cho $x$:
$$m = \frac{5x^2 – 4x + 1}{x} = 5x – 4 + \frac{1}{x}$$
Bước 3: Khảo sát hàm số $h(x) = 5x + \frac{1}{x} – 4$ trên $[1/2; +\infty)$
Xét đạo hàm: $h'(x) = 5 – \frac{1}{x^2}$.
$h'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 = \frac{1}{5} \Rightarrow x = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447$.
Giá trị này nhỏ hơn $1/2$, nên trên khoảng $[1/2; +\infty)$, $h'(x) > 0$. Hàm số luôn đồng biến.
- Tại $x = \frac{1}{2}$: $h(1/2) = 5(1/2) + \frac{1}{1/2} – 4 = 2.5 + 2 – 4 = 0.5$.
- Khi $x \to +\infty$: $h(x) \to +\infty$.
Vậy để phương trình có nghiệm, ta cần $m \geq \frac{1}{2}$.
Bước 4: Kết luận
Phương trình vô nghiệm khi $m < \frac{1}{2}$. Đối chiếu các phương án, tập hợp giá trị là $(-\infty; 1/2)$.
Chọn đáp án: C. (Lưu ý: Trong các đề thi trắc nghiệm đôi khi có sự sai sót nhỏ về ngoặc vuông/tròn ở đáp án, dựa trên logic toán học ở đây là $m < 1/2$).
⚡ Cách làm nhanh – Trắc nghiệm
Nếu bạn muốn thử nhanh các giá trị để loại trừ:
- Thử $m = 0$: Phương trình thành $\sqrt{-x^2} = 2x – 1$. Vế trái chỉ xác định khi $x=0$, nhưng khi $x=0$ vế phải bằng $-1$. Vậy $m=0$ vô nghiệm $\rightarrow$ Loại A, B.
- Thử $m = 2$: Phương trình $\sqrt{-x^2+2x} = 2x-1 \Leftrightarrow 5x^2-8x+1=0$. Bấm máy tính thấy có nghiệm $x \approx 1.46$ (thỏa mãn $\geq 0.5$). Vậy $m=2$ có nghiệm $\rightarrow$ Loại D.
- Chỉ còn lại C.
Chiến lược siêu nhận thức: Khi giải toán chứa tham số, việc “cô lập $m$” và dùng đồ thị hoặc bảng biến thiên là con đường an toàn nhất. Đừng quên điều kiện của vế không chứa căn nhé!