1. Đề bài
Câu 64: Cho $a = \log_2 5$ và $b = \log_5 3$. Biết $\log_{24} 15 = \dfrac{ma + ab}{n + ab}$ với $m, n$ là các số nguyên. Giá trị của $S = m^2 + n^2$ là:
A. $2$.
B. $5$.
C. $13$.
D. $10$.
Chọn đáp án D.
2. Công thức và Phương pháp giải
Các công thức lôgarit cần dùng:
- Quy tắc đổi cơ số: $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
- Quy tắc tích (vòng): $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$
- Lôgarit của một tích: $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
- Lôgarit của một lũy thừa: $\log_a x^k = k \log_a x$
Phương pháp giải:
- Bước 1: Biểu diễn các số hạng trong biểu thức cần tính ($\log_{24} 15$) theo cùng một cơ số xuất hiện ở $a$ và $b$. Ở đây, ta thấy sự kết nối qua số $5$ ($a$ có cơ số $2$ số thực $5$, $b$ có cơ số $5$). Tuy nhiên, đưa về cơ số $2$ là thuận tiện nhất.
- Bước 2: Tính các tích $ab$ và các thành phần lẻ để thay vào biểu thức.
- Bước 3: Đồng nhất hệ số để tìm $m, n$ và tính $S$.
3. Bài giải chi tiết
Ta có:
- $a = \log_2 5$
- $b = \log_5 3$
- Suy ra: $ab = \log_2 5 \cdot \log_5 3 = \log_2 3$
Biến đổi $\log_{24} 15$ bằng cách chèn cơ số $2$:
$$\log_{24} 15 = \dfrac{\log_2 15}{\log_2 24}$$
Phân tích các số $15$ và $24$ ra thừa số nguyên tố:
- $15 = 3 \cdot 5$
- $24 = 2^3 \cdot 3$
Thay vào biểu thức:
$$\log_{24} 15 = \dfrac{\log_2 (3 \cdot 5)}{\log_2 (2^3 \cdot 3)} = \dfrac{\log_2 5 + \log_2 3}{\log_2 2^3 + \log_2 3}$$
$$\log_{24} 15 = \dfrac{\log_2 5 + \log_2 3}{3 + \log_2 3}$$
Thay $a = \log_2 5$ và $ab = \log_2 3$ vào:
$$\log_{24} 15 = \dfrac{a + ab}{3 + ab}$$
So sánh với dạng bài cho $\dfrac{ma + ab}{n + ab}$, ta được:
- $m = 1$
- $n = 3$
Tính giá trị $S$:
$$S = m^2 + n^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$$
Chọn đáp án D.
4. Cách làm nhanh – Trắc nghiệm (Sử dụng máy tính Casio)
Nếu bạn muốn tiết kiệm thời gian trong phòng thi, hãy sử dụng tính năng gán biến (Store):
- Lưu biến:
- Bấm
log(2, 5)rồi gán vào biến A (STO->A). - Bấm
log(5, 3)rồi gán vào biến B (STO->B).
- Bấm
- Tính giá trị biểu thức đề bài:
- Bấm
log(24, 15), kết quả xấp xỉ $0.8505…$
- Bấm
- Thử đáp án hoặc giải hệ:
- Dựa vào biểu thức $\dfrac{mA + AB}{n + AB} = \log_{24} 15$, ta có thể thử các cặp $(m, n)$ nhỏ.
- Dễ thấy khi $m=1, n=3$: Bấm
(A + A*B) / (3 + A*B)sẽ ra đúng kết quả $0.8505…$ của $\log_{24} 15$.
- Kết luận: $1^2 + 3^2 = 10$.
Mẹo: Trong các bài toán dạng này, $m$ và $n$ thường là các số nguyên nhỏ (1, 2, 3…). Việc thử trực tiếp vào biểu thức trên máy tính thường nhanh hơn giải tự luận nếu bạn không thạo các quy tắc đổi cơ số.