Câu 67: Tập nghiệm của phương trình $\cos 2x + 3\sin x – 2 = 0$ là:
A. $S = \left\{ \frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{\pi}{6} + k2\pi; \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.
B. $S = \left\{ \frac{\pi}{6} + k2\pi; \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.
C. $S = \left\{ \frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{\pi}{3} + k2\pi; \frac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.
D. $S = \left\{ \frac{\pi}{3} + k2\pi; \frac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$.
Đáp án đúng là A.
Hướng dẫn giải nhanh:
Để giải phương trình này, bạn sử dụng công thức nhân đôi: $\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$.
- Thay vào phương trình: $(1 – 2\sin^2 x) + 3\sin x – 2 = 0$
- Rút gọn thành phương trình bậc hai: $-2\sin^2 x + 3\sin x – 1 = 0$
- Nghiệm của phương trình là $\sin x = 1$ hoặc $\sin x = \frac{1}{2}$.
- Giải các phương trình lượng giác cơ bản này sẽ ra đáp án A.
1. Công thức và Lý thuyết cần nhớ
Để giải dạng bài này, bạn cần nắm vững các nhóm kiến thức sau:
- Công thức nhân đôi: $$\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$$(Đây là chìa khóa để đưa phương trình về cùng một hàm số $\sin x$).
- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: Dạng $at^2 + bt + c = 0$ với $t = \sin x$ (điều kiện $|t| \le 1$).
- Nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản:
- $\sin x = 1 \iff x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$
- $\sin x = \sin \alpha \iff \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{cases}$
2. Phương pháp giải
- Biến đổi: Sử dụng công thức nhân đôi để chuyển $\cos 2x$ về $\sin x$.
- Đặt ẩn phụ (nếu cần): Đặt $t = \sin x$ để đưa về phương trình đại số bậc hai.
- Giải phương trình: Tìm nghiệm $t$, đối chiếu điều kiện $|t| \le 1$.
- Kết luận: Từ $t$ tìm ra các họ nghiệm $x$.
3. Bài giải chi tiết
Phương trình: $\cos 2x + 3\sin x – 2 = 0$
Bước 1: Thay $\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$ vào phương trình:
$$(1 – 2\sin^2 x) + 3\sin x – 2 = 0$$
Bước 2: Thu gọn phương trình:
$$-2\sin^2 x + 3\sin x – 1 = 0$$
Bước 3: Giải phương trình bậc hai đối với $\sin x$:
Đặt $t = \sin x$ ($-1 \le t \le 1$), ta có: $-2t^2 + 3t – 1 = 0$.
Các hệ số $a + b + c = (-2) + 3 + (-1) = 0$, nên phương trình có hai nghiệm:
- $t_1 = 1$ (Thỏa mãn)
- $t_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ (Thỏa mãn)
Bước 4: Tìm nghiệm $x$:
- Với $\sin x = 1 \implies x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$
- Với $\sin x = \frac{1}{2} \iff \sin x = \sin \frac{\pi}{6}$:$$\begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \pi – \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{cases}$$
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là:
$$S = \left\{ \frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{\pi}{6} + k2\pi; \frac{5\pi}{6} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}$$
$\Rightarrow$ Đáp án đúng là A.