1. Đề bài
Câu 74: Giả sử lợi nhuận thu được từ mỗi chiếc bánh loại A là 10 nghìn đồng và từ loại B là 15 nghìn đồng. Lợi nhuận tối đa (nghìn đồng) có thể thu được là:
A. 250.
B. 300.
C. 350.
D. 400.
2. Công thức, Lý thuyết và Phương pháp giải
Lý thuyết bài toán tối ưu (Quy hoạch tuyến tính):
- Hàm mục tiêu: Là biểu thức đại số biểu diễn đại lượng cần tối ưu (lợi nhuận, chi phí…). Thường có dạng $F(x, y) = ax + by$.
- Miền nghiệm: Là một đa giác (lồi) được bao quanh bởi các đường thẳng của hệ bất phương trình ràng buộc.
- Định lý quan trọng: Giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của hàm mục tiêu $F(x, y)$ trên một miền đa giác luôn đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.
Phương pháp giải:
- Xác định hàm mục tiêu: Thiết lập công thức tính lợi nhuận $F(x, y)$.
- Xác định tọa độ các đỉnh: Tìm giao điểm của các đường thẳng trong hệ bất phương trình từ Câu 73.
- Tính giá trị: Thay tọa độ từng đỉnh vào hàm mục tiêu.
- Kết luận: Chọn giá trị lớn nhất.
3. Bài giải chi tiết
Bước 1: Thiết lập hàm lợi nhuận Gọi $F(x, y)$ là lợi nhuận (đơn vị: nghìn đồng). Ta có:
$$F(x, y) = 10x + 15y$$
Bước 2: Xác định miền nghiệm từ Câu 73 Hệ bất phương trình sau khi rút gọn:
- $200x + 100y \leq 5000 \Leftrightarrow 2x + y \leq 50$ (Đường thẳng $d_1$)
- $25x + 50y \leq 1000 \Leftrightarrow x + 2y \leq 40$ (Đường thẳng $d_2$)
- $x \geq 0, y \geq 0$
Bước 3: Tìm tọa độ các đỉnh của miền nghiệm Miền nghiệm là tứ giác $OABC$ với các đỉnh:
- $O(0, 0)$: Gốc tọa độ.
- $A(25, 0)$: Giao của $d_1$ và trục $Ox$ (cho $y=0$ vào $2x+y=50$).
- $B(20, 10)$: Giao của $d_1$ và $d_2$. Giải hệ: $\begin{cases} 2x + y = 50 \\ x + 2y = 40 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 20 \\ y = 10 \end{cases}$
- $C(0, 20)$: Giao của $d_2$ và trục $Oy$ (cho $x=0$ vào $x+2y=40$).
Bước 4: Tính lợi nhuận tại các đỉnh
- Tại $O(0, 0): F = 10(0) + 15(0) = 0$.
- Tại $A(25, 0): F = 10(25) + 15(0) = 250$.
- Tại $B(20, 10)$: $F = 10(20) + 15(10) = 200 + 150 = \mathbf{350}$.
- Tại $C(0, 20): F = 10(0) + 15(20) = 300$.
Kết luận: Lợi nhuận tối đa là 350 nghìn đồng. => Đáp án đúng là: C.
4. Cách làm nhanh – Trắc nghiệm
Trong phòng thi, để tiết kiệm thời gian, bạn có thể áp dụng các mẹo sau:
- Nhắm vào điểm giao: Trong hầu hết các bài toán kinh tế dạng này, giá trị tối ưu thường rơi vào điểm giao nhau của hai nguồn lực (điểm $B$). Hãy giải nhanh hệ phương trình của hai dòng đầu tiên trước.
- Thử các phương án biên:
- Nếu chỉ làm bánh A: $5000 / 200 = 25$ cái $\rightarrow$ Lợi nhuận: $25 \times 10 = 250$.
- Nếu chỉ làm bánh B: $1000 / 50 = 20$ cái $\rightarrow$ Lợi nhuận: $20 \times 15 = 300$.
- Kết hợp (giải hệ): 20 bánh A và 10 bánh B $\rightarrow$ Lợi nhuận: $350$.
- So sánh: $350$ là số lớn nhất trong các kết quả tính được, chọn ngay C!