1. Đề bài
Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 77 đến 78:
Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(2; 2; -3)$ và hai mặt phẳng $(P): 2x + y – 2z = 0$, $(Q): 2x – y + z = 0$.
Câu 77: Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng:
A. 3. B. 4. C. 2. D. 6.
Câu 78: Mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$ và $(Q)$ có phương trình:
A. $x + 6y + 4z – 2 = 0$. B. $x – 6y – 4z – 2 = 0$.
C. $x – 6y + 4z + 22 = 0$. D. $x + 6y – 4z – 26 = 0$.
2. Công thức và lý thuyết cần nhớ
- Khoảng cách từ điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ đến mặt phẳng $(P): ax + by + cz + d = 0$:$$d(M_0, (P)) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
- Vectơ pháp tuyến (VTPT): Mặt phẳng $(P): ax + by + cz + d = 0$ có VTPT là $\vec{n}_P = (a; b; c)$.
- Mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng khác: Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ vuông góc với cả $(P)$ và $(Q)$ thì VTPT của nó là tích có hướng của hai VTPT của $(P)$ và $(Q)$:$$\vec{n}_\alpha = [\vec{n}_P, \vec{n}_Q]$$
3. Bài giải chi tiết
Câu 77: Tính khoảng cách
Điểm $A(2; 2; -3)$ và mặt phẳng $(P): 2x + y – 2z = 0$.
Áp dụng công thức:
$$d(A, (P)) = \frac{|2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 – 2 \cdot (-3)|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}}$$
$$d(A, (P)) = \frac{|4 + 2 + 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{12}{3} = 4$$
=> Đáp án: B.
Câu 78: Tìm phương trình mặt phẳng $(\alpha)$
- Tìm VTPT của $(\alpha)$:
- Mặt phẳng $(P)$ có $\vec{n}_P = (2; 1; -2)$.
- Mặt phẳng $(Q)$ có $\vec{n}_Q = (2; -1; 1)$.
- VTPT của $(\alpha)$ là: $\vec{n}_\alpha = [\vec{n}_P, \vec{n}_Q] = (-1; -6; -4)$.
- Ta chọn VTPT cùng phương là $\vec{n} = (1; 6; 4)$ cho đẹp mắt.
- Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ qua $A(2; 2; -3)$:$$1(x – 2) + 6(y – 2) + 4(z + 3) = 0$$$$x – 2 + 6y – 12 + 4z + 12 = 0 \Leftrightarrow \mathbf{x + 6y + 4z – 2 = 0}$$=> Đáp án: A.
4. Cách làm nhanh – Trắc nghiệm
- Với Câu 77: Bấm máy tính hàm trị tuyệt đối trên căn thức, thay số thẳng vào. Nhớ cẩn thận dấu của cao độ $z = -3$.
- Với Câu 78:
- Bước 1: Kiểm tra VTPT. Nhìn vào $(P)$ và $(Q)$, tích có hướng cho ra các hệ số tỉ lệ với $(1; 6; 4)$. Chỉ có đáp án A và D có bộ số này.
- Bước 2: Thay tọa độ điểm $A(2; 2; -3)$ vào A và D.
- Thay vào A: $2 + 6(2) + 4(-3) – 2 = 2 + 12 – 12 – 2 = 0$ (Đúng).
- Thay vào D: $2 + 12 + 12 – 26 = 0$ (Cũng đúng nốt!).
- Chốt hạ: Vì cả A và D đều đi qua $A$, nhưng VTPT của $(\alpha)$ phải là $(1, 6, 4)$ hoặc $(-1, -6, -4)$. Đáp án D có VTPT là $(1, 6, -4)$ nên bị loại. Vậy chọn A.