Câu 79-81. Đề thi Đánh giá năng lực  ĐHQG-HCM 2026

written by LTTcategoried in ĐGNL

1. Đề bài

Cho hàm số $y = f(x) = x^3 – 3x + m$.

  • Câu 79: Với $m = 1$, tìm giá trị lớn nhất ($M$) của hàm số trên đoạn $[-2; 2]$.
  • Câu 80: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên tập xác định.
  • Câu 81: Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho phương trình $-x^3 + 3x = m$ có 3 nghiệm thực phân biệt.

2. Công thức và Lý thuyết áp dụng

A. Cực trị và Sự biến thiên

  • Đạo hàm hàm bậc ba: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d \implies y’ = 3ax^2 + 2bx + c$.
  • Hàm số đồng biến khi $y’ \geq 0$ và nghịch biến khi $y’ \leq 0$ trên khoảng đang xét.

B. Giá trị lớn nhất/nhỏ nhất trên đoạn $[a; b]$

  1. Tính $f'(x)$, tìm các nghiệm $x_i \in [a; b]$.
  2. Tính các giá trị $f(a), f(b)$ và $f(x_i)$.
  3. Kết luận: $\max = \max\{f(a), f(b), f(x_i)\}$.

C. Số nghiệm của phương trình

Số nghiệm của phương trình $f(x) = m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y = m$.

  • Để hàm bậc ba có 3 nghiệm phân biệt: $y_{CT} < m < y_{CD}$ (với $y_{CT}, y_{CD}$ là giá trị cực tiểu và cực đại).

3. Giải chi tiết

Câu 79: Tìm GTLN với $m=1$ trên $[-2; 2]$

  1. Hàm số: $y = x^3 – 3x + 1$.
  2. Đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 3$. Cho $y’ = 0 \iff x = \pm 1$ (cả hai đều thuộc $[-2; 2]$).
  3. Tính giá trị tại các điểm đầu mút và cực trị:
    • $f(-2) = (-2)^3 – 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1$
    • $f(2) = (2)^3 – 3(2) + 1 = 8 – 6 + 1 = 3$
    • $f(-1) = (-1)^3 – 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$
    • $f(1) = (1)^3 – 3(1) + 1 = 1 – 3 + 1 = -1$
  4. Kết luận: Giá trị lớn nhất là 3.Chọn B.

Câu 80: Tìm $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

  1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
  2. Đạo hàm: $y’ = 3x^2 – 3$.
  3. Xét tính đơn điệu: Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì $y’ \leq 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
  4. Tuy nhiên, $y’ = 3x^2 – 3$ là một parabol có bề lõm hướng lên ($a=3 > 0$), nên nó không thể luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi $x$. Nó chỉ nghịch biến trên đoạn $[-1; 1]$.
  5. Tham số $m$ không làm thay đổi đạo hàm $y’$, do đó không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.Chọn D ($m \in \varnothing$).

Câu 81: Tổng các giá trị $m$ nguyên để phương trình có 3 nghiệm

  1. Xét hàm số $g(x) = -x^3 + 3x$.
  2. Đạo hàm: $g'(x) = -3x^2 + 3$. Cho $g'(x) = 0 \iff x = \pm 1$.
  3. Giá trị cực trị:
    • $g(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) = 1 – 3 = -2$ (Cực tiểu)
    • $g(1) = -(1)^3 + 3(1) = -1 + 3 = 2$ (Cực đại)
  4. Để phương trình $g(x) = m$ có 3 nghiệm phân biệt:$$y_{CT} < m < y_{CD} \iff -2 < m < 2$$
  5. Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{-1; 0; 1\}$.
  6. Tổng các giá trị của $m$: $(-1) + 0 + 1 = 0$.Chọn D.

4. Mẹo giải nhanh – Trắc nghiệm

  • Câu 79: Nhập hàm $x^3 – 3x + 1$ vào máy tính Casio, dùng tính năng TABLE (Menu 8) với $Start: -2, End: 2, Step: 0.2$. Nhìn cột $f(x)$ tìm số lớn nhất.
  • Câu 80: Quan sát hệ số $a$ của hàm bậc ba. Nếu $a > 0$, hàm số luôn đồng biến hoặc có cực trị, không bao giờ nghịch biến trên toàn trục số. Bạn có thể khoanh ngay đáp án rỗng mà không cần tính toán.
  • Câu 81: Vẽ nhanh dáng điệu đồ thị hình chữ $N$ ngược (do $a = -1 < 0$). Hai điểm cực trị là $\pm 1$, thay vào nhẩm nhanh giá trị là $\pm 2$. Các số nguyên nằm giữa $-2$ và $2$ đối xứng nhau qua $0$ nên tổng chắc chắn bằng $0$.