HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Thời gian: 90 phút
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7.0 điểm – Mỗi câu 0.35 điểm)
Câu 1 (Bài 1): Đổi số đo của góc $\alpha = 150^\circ$ sang đơn vị radian.
A. $\frac{4\pi}{5}$
B. $\frac{5\pi}{6}$
C. $\frac{2\pi}{3}$
D. $\frac{\pi}{6}$
Câu 2 (Bài 1): Trên đường tròn lượng giác, điểm biểu diễn cung có số đo $\frac{\pi}{2}$ nằm ở đâu?
A. Trục hoành bên phải.
B. Trục hoành bên trái.
C. Trục tung phía trên.
D. Trục tung phía dưới.
Câu 3 (Bài 2): Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$
B. $\cos(a+b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
C. $\sin 2a = 2\sin a$
D. $\cos 2a = \cos^2 a + \sin^2 a$
Câu 4 (Bài 3): Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là:
A. $\mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$
B. $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$
C. $\mathbb{R}$
D. $[-1; 1]$
Câu 5 (Bài 3): Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. $y = \sin x$
B. $y = \cos x$
C. $y = \tan x$
D. $y = \cot x$
Câu 6 (Bài 4): Nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ là:
A. $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$
B. $x = k\pi$
C. $x = \pi + k2\pi$
D. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
Câu 7 (Bài 1): Cho góc lượng giác $(Ou, Ov)$ có số đo là $\frac{\pi}{4}$. Số đo tổng quát của các góc lượng giác $(Ou, Ov)$ là:
A. $\frac{\pi}{4} + k\pi$
B. $\frac{\pi}{4} + k2\pi$
C. $-\frac{\pi}{4} + k2\pi$
D. $\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$
Câu 8 (Bài 2): Rút gọn biểu thức $A = \sin(x + \frac{\pi}{3}) – \sin(x – \frac{\pi}{3})$.
A. $A = \cos x$
B. $A = \sqrt{3} \sin x$
C. $A = \sqrt{3} \cos x$
D. $A = 2 \cos x$
Câu 9 (Bài 2): Tính giá trị của $P = \cos 75^\circ \cdot \cos 15^\circ$.
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
D. $1$
Câu 10 (Bài 3): Tìm giá trị lớn nhất ($M$) và giá trị nhỏ nhất ($m$) của hàm số $y = 3\sin 2x – 5$.
A. $M = -2, m = -8$
B. $M = 3, m = -3$
C. $M = -2, m = -5$
D. $M = 8, m = 2$
Câu 11 (Bài 3): Chu kỳ tuần hoàn của hàm số $y = \cot 2x$ là:
A. $T = \pi$
B. $T = 2\pi$
C. $T = \frac{\pi}{2}$
D. $T = \frac{\pi}{4}$
Câu 12 (Bài 4): Phương trình $\cos x = \cos \frac{\pi}{3}$ có nghiệm là:
A. $x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi$
B. $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi$
C. $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$
D. $x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi$
Câu 13 (Bài 4): Số nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ trên đoạn $[0; 2\pi]$ là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 14 (Bài 2): Biết $\tan a = 2$. Tính giá trị của $\tan 2a$.
A. $-\frac{4}{3}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $-\frac{3}{4}$
D. $4$
Câu 15 (Bài 3): Đồ thị hàm số $y = \sin x$ đi qua điểm nào sau đây?
A. $(0; 1)$
B. $(\pi; 0)$
C. $(\frac{\pi}{2}; 0)$
D. $(\pi; -1)$
Câu 16 (Bài 4): Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. $\sin x = -0,5$
B. $\cos x = \frac{2}{3}$
C. $\tan x = 100$
D. $\cos x = -1,2$
Câu 17 (Bài 1): Một đường tròn có bán kính $R = 10 \text{ cm}$. Độ dài cung tròn có số đo $\frac{\pi}{5}$ là:
A. $2\pi \text{ cm}$
B. $5\pi \text{ cm}$
C. $\pi \text{ cm}$
D. $20 \text{ cm}$
Câu 18 (Bài 2): Biến đổi tích thành tổng: $\cos 5x \cos 3x$ bằng:
A. $\frac{1}{2}(\cos 8x + \cos 2x)$
B. $\frac{1}{2}(\cos 8x – \cos 2x)$
C. $\cos 8x + \cos 2x$
D. $\sin 8x + \sin 2x$
Câu 19 (Bài 3): Hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $(0; \pi)$
B. $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$
C. $(-\pi; 0)$
D. $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$
Câu 20 (Bài 4): Nghiệm của phương trình $\cot x = \sqrt{3}$ là:
A. $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$
B. $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$
C. $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$
D. $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$
PHẦN II. TỰ LUẬN (3.0 điểm)
Bài 1 (1.0 điểm): Cho $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$ với $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Tính giá trị của $\sin \alpha$ và $\tan \alpha$.
Bài 2 (1.0 điểm): Giải các phương trình lượng giác sau:
a) $\sqrt{3}\tan(x – \frac{\pi}{6}) = 1$
b) $\cos 2x – 3\cos x + 2 = 0$
Bài 3 (1.0 điểm – Nâng cao): Một chiếc đu quay có bán kính $10m$. Tâm của vòng quay ở độ cao $12m$ so với mặt đất. Đu quay quay đều với tốc độ $1$ vòng/phút. Thiết lập hàm số tính độ cao $h$ của một cabin theo thời gian $t$ (giây) và tìm thời điểm đầu tiên cabin đạt độ cao $17m$.