ĐẠO HÀM

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (7,0 ĐIỂM)

Chọn đáp án đúng nhất trong các phương án sau:

Mức độ Nhận biết (Câu 1 – 10)

Câu 1: Đạo hàm của hàm số $f(x) = x^n$ ($n \in \mathbb{N}, n > 1$) là:

A. $n \cdot x^{n+1}$

B. $n \cdot x^{n-1}$

C. $x^{n-1}$

D. $\frac{1}{n}x^{n-1}$

Câu 2: Cho hàm số $y = \sin x$. Đạo hàm $y’$ của hàm số là:

A. $\cos x$

B. $-\cos x$

C. $\sin x$

D. $\frac{1}{\cos x}$

Câu 3: Đạo hàm của hàm hằng $y = c$ (với $c$ là số thực) bằng:

A. $1$

B. $x$

C. $0$

D. $c$

Câu 4: Hệ số góc $k$ của tiếp tuyến tại điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc đồ thị hàm số $y = f(x)$ là:

A. $k = f(x_0)$

B. $k = f'(x_0)$

C. $k = -f'(x_0)$

D. $k = \frac{1}{f'(x_0)}$

Câu 5: Đạo hàm của hàm số $y = \tan x$ (tại những điểm hàm số xác định) là:

A. $\frac{1}{\sin^2 x}$

B. $-\frac{1}{\cos^2 x}$

C. $\frac{1}{\cos^2 x}$

D. $1 + \sin^2 x$

Câu 6: Công thức tính đạo hàm của một tích $(u \cdot v)’$ là:

A. $u’v + uv’$

B. $u’v’$

C. $u’v – uv’$

D. $u’ + v’$

Câu 7: Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$ ($x > 0$) là:

A. $\frac{1}{\sqrt{x}}$

B. $2\sqrt{x}$

C. $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

D. $\frac{2}{\sqrt{x}}$

Câu 8: Cho hàm số $f(x) = x^3$. Đạo hàm cấp hai $f”(x)$ là:

A. $3x^2$

B. $6x$

C. $6$

D. $0$

Câu 9: Vi phân của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x$ ứng với số gia $dx$ là:

A. $dy = f'(x)$

B. $dy = f'(x)dx$

C. $dy = f(x)dx$

D. $dy = dx$

Câu 10: Đạo hàm của $y = \cos x$ là:

A. $\sin x$

B. $-\sin x$

C. $-\cos x$

D. $\frac{1}{\sin x}$

Mức độ Thông hiểu (Câu 11 – 20)

Câu 11: Đạo hàm của hàm số $y = (3x + 2)^5$ là:

A. $5(3x + 2)^4$

B. $15(3x + 2)^4$

C. $3(3x + 2)^4$

D. $15(3x + 2)^5$

Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin(2x + 1)$:

A. $\cos(2x + 1)$

B. $2\cos(2x + 1)$

C. $-2\cos(2x + 1)$

D. $2\sin(2x + 1)$

Câu 13: Cho hàm số $y = x^2 – 4x + 3$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(1; 0)$ là:

A. $y = -2x + 2$

B. $y = 2x – 2$

C. $y = -2x – 2$

D. $y = x – 1$

Câu 14: Đạo hàm của hàm số $y = \frac{x-1}{x+1}$ là:

A. $\frac{2}{(x+1)^2}$

B. $\frac{-2}{(x+1)^2}$

C. $\frac{1}{(x+1)^2}$

D. $\frac{2}{x+1}$

Câu 15: Cho hàm số $y = \sqrt{x^2 + 1}$. Đạo hàm $y’$ bằng:

A. $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$

B. $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

C. $\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$

D. $\frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}$

Câu 16: Một vật rơi tự do có phương trình $s(t) = \frac{1}{2}gt^2$ ($g = 9,8 \text{ m/s}^2$). Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 2s$ là:

A. $9,8 \text{ m/s}$

B. $19,6 \text{ m/s}$

C. $4,9 \text{ m/s}$

D. $39,2 \text{ m/s}$

Câu 17: Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \sin x$ là:

A. $\cos x$

B. $-\cos x$

C. $-\sin x$

D. $\sin x$

Câu 18: Tính đạo hàm của hàm số $y = x \cdot \sin x$:

A. $\sin x + x\cos x$

B. $\cos x$

C. $\sin x – x\cos x$

D. $x\cos x$

Câu 19: Đạo hàm của hàm số $y = \cos^2 x$ là:

A. $-2\sin x \cos x$

B. $2\cos x$

C. $2\sin x$

D. $\sin(2x)$

Câu 20: Cho $f(x) = \frac{1}{x}$. Tính $f”(1)$:

A. $-1$

B. $1$

C. $2$

D. $-2$

Mức độ Vận dụng (Câu 21 – 28)

Câu 21: Tìm $m$ để đạo hàm của hàm số $y = \frac{x^3}{3} – mx^2 + x + 5$ luôn không âm với mọi $x \in \mathbb{R}$:

A. $m \leq 1$

B. $-1 \leq m \leq 1$

C. $m \geq 1$

D. $m < 1$

Câu 22: Cho hàm số $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$. Giải bất phương trình $f'(x) < 0$:

A. $x \neq 1$

B. $x > 1$

C. $x < 1$

D. Không có giá trị $x$ thỏa mãn

Câu 23: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x+2}{x-1}$ tại điểm có tung độ $y_0 = 4$ là:

A. $y = -3x + 10$

B. $y = -3x – 10$

C. $y = 3x + 2$

D. $y = -x + 6$

Câu 24: Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{\cos 2x}$ là:

A. $\frac{-\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}}$

B. $\frac{\sin 2x}{2\sqrt{\cos 2x}}$

C. $\frac{-\sin 2x}{2\sqrt{\cos 2x}}$

D. $\frac{-2\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}}$

Câu 25: Gia tốc tức thời của chuyển động $s(t) = t^3 – 3t^2 + 2$ tại thời điểm vận tốc bằng $0$ ($t > 0$) là:

A. $6 \text{ m/s}^2$

B. $0 \text{ m/s}^2$

C. $-6 \text{ m/s}^2$

D. $12 \text{ m/s}^2$

Câu 26: Cho hàm số $y = \tan 2x$. Đạo hàm cấp hai $y”$ tại $x = 0$ là:

A. $0$

B. $2$

C. $4$

D. $8$

Câu 27: Đạo hàm cấp 2026 của hàm số $y = \cos x$ là:

A. $\cos x$

B. $-\cos x$

C. $\sin x$

D. $-\sin x$

Câu 28: Cho hàm số $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$. Tính $f'(x)$:

A. $-\sin(4x)$

B. $\sin(4x)$

C. $-\frac{1}{2}\sin(4x)$

D. $4\sin^3 x – 4\cos^3 x$

PHẦN II: TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1 (1,0 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{x^2 – 3x + 2}$

b) $y = \frac{\sin x}{x}$ (với $x \neq 0$)

Bài 2 (1,0 điểm): Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 2$.

Bài 3 (1,0 điểm): Cho hàm số $y = \cos^2 x$.

a) Tính đạo hàm cấp hai $y”$.

b) Chứng minh rằng hàm số thỏa mãn hệ thức: $y” + 4y = 2$.

CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

Thời gian: 90 phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (28 CÂU – 7.0 ĐIỂM)

Câu 1: Cho hai biến cố $A$ và $B$. Biến cố “Cả $A$ và $B$ cùng xảy ra” được ký hiệu là:

A. $A \cup B$

B. $A \setminus B$

C. $A \cap B$

D. $\overline{A}$

Câu 2: Nếu hai biến cố $A$ và $B$ xung khắc thì:

A. $A \cap B = \Omega$

B. $A \cap B = \varnothing$

C. $A \cup B = \varnothing$

D. $P(A) + P(B) = 1$

Câu 3: Cho $P(A) = 0,3$. Xác suất của biến cố đối $\overline{A}$ là:

A. 0,3

B. 0,5

C. 0,7

D. 1,3

Câu 4: Công thức nào sau đây là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập?

A. $P(AB) = P(A) + P(B)$

B. $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$

C. $P(A \cup B) = P(A) \cdot P(B)$

D. $P(AB) = P(A) – P(B)$

Câu 5: Hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu:

A. Việc xảy ra của $A$ không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của $B$.

B. $A$ và $B$ không thể cùng xảy ra.

C. $A$ là tập con của $B$.

D. Tổng xác suất của chúng bằng 1.

Câu 6: Ký hiệu $A \cup B$ phát biểu bằng lời là:

A. Biến cố $A$ và $B$.

B. Biến cố $A$ hoặc $B$.

C. Biến cố $A$ nhưng không có $B$.

D. Biến cố đối của $A$ và $B$.

Câu 7: Nếu $P(A) = 0,4; P(B) = 0,5$ và $A, B$ xung khắc thì $P(A \cup B)$ bằng:

A. 0,9

B. 0,1

C. 0,2

D. 0,45

Câu 8: Tung một con xúc xắc cân đối. Biến cố $A$: “Mặt xuất hiện có số chấm chẵn”, biến cố $B$: “Mặt xuất hiện có số chấm lẻ”. Hai biến cố này là:

A. Độc lập.

B. Xung khắc.

C. Không liên quan.

D. Biến cố giao.

Câu 9: Cho $P(A \cap B) = 0$. Khẳng định nào đúng?

A. $A, B$ là hai biến cố độc lập.

B. $A, B$ là hai biến cố xung khắc.

C. $A$ và $B$ là hai biến cố đối nhau.

D. $P(A) = 0$ hoặc $P(B) = 0$.

Câu 10: Trong một hộp có 5 bi xanh và 5 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 viên. Gọi $A$ là biến cố “Lấy được bi xanh”. Xác suất $P(A)$ là:

A. 1/2

B. 1/5

C. 1/10

D. 2/5

Câu 11: Cho $P(A) = 0,6; P(B) = 0,3; P(A \cup B) = 0,8$. Tính $P(A \cap B)$:

A. 0,1

B. 0,9

C. 0,18

D. 0,2

Câu 12: Cho hai biến cố độc lập $A$ và $B$ có $P(A) = 0,5$ và $P(B) = 0,4$. Tính $P(A \cap \overline{B})$:

A. 0,2

B. 0,3

C. 0,1

D. 0,9

Câu 13: Một xạ thủ bắn 2 viên đạn vào bia. Gọi $A_i$ là biến cố “Viên thứ $i$ trúng bia” ($i=1,2$). Biến cố “Có ít nhất một viên trúng bia” là:

A. $A_1 \cap A_2$

B. $A_1 \cup A_2$

C. $\overline{A_1} \cap \overline{A_2}$

D. $A_1 \cup \overline{A_2}$

Câu 14: Gieo một con xúc xắc 2 lần. Tính xác suất để cả 2 lần đều xuất hiện mặt 6 chấm:

A. 1/6

B. 1/12

C. 1/36

D. 2/6

Câu 15: Một bình đựng 7 viên bi trắng và 3 viên bi đen. Lấy ngẫu nhiên 2 viên. Xác suất để cả 2 viên đều trắng là:

A. $C_7^2 / C_{10}^2$

B. $7/10$

C. $14/100$

D. $C_3^2 / C_{10}^2$

Câu 16: Cho $P(A) = 0,7$. Xác suất để biến cố $A$ không xảy ra là:

A. 0,7

B. 0,3

C. 0

D. 1

Câu 17: Hai người cùng giải một bài toán độc lập. Xác suất người thứ nhất giải được là 0,8; người thứ hai là 0,7. Xác suất để cả hai cùng không giải được là:

A. 0,56

B. 0,06

C. 0,15

D. 0,44

Câu 18: Cho hai biến cố $A$ và $B$ bất kỳ. Công thức nào đúng?

A. $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

B. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

C. $P(A \cup B) = P(A) \cdot P(B)$

D. $P(A \cup B) = 1 – P(A \cap B)$

Câu 19: Một thẻ bài rút từ bộ bài 52 lá. Xác suất để rút được lá Át (Ace) hoặc lá Rô là:

A. 4/52 + 13/52

B. 4/52 + 13/52 – 1/52

C. 4/52 * 13/52

D. 17/52

Câu 20: Nếu $A$ và $B$ độc lập thì $\overline{A}$ và $\overline{B}$ có độc lập không?

A. Luôn độc lập.

B. Không bao giờ độc lập.

C. Chỉ độc lập khi $P(A) = P(B)$.

D. Tùy vào đề bài.

Câu 21: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 20. Xác suất chọn được số chia hết cho cả 2 và 3 là:

A. 3/20

B. 1/20

C. 1/10

D. 6/20

Câu 22: Gieo một đồng xu 3 lần. Xác suất để mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần là:

A. 1/8

B. 3/8

C. 1/2

D. 1/4

---

Câu 23: Một hộp có 10 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 quả không hoàn lại. Xác suất để quả thứ nhất xanh và quả thứ hai đỏ là:

A. 10/15 * 5/15

B. 10/15 * 5/14

C. $C_{10}^1 \cdot C_5^1 / C_{15}^2$

D. 1/3

Câu 24: Ba người cùng bắn vào một mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi người lần lượt là 0,5; 0,6; 0,7. Xác suất để mục tiêu bị trúng là:

A. 0,21

B. 0,94

C. 0,06

D. 0,15

Câu 25: Cho $P(A) = 0,4; P(B) = 0,5$. Biết $A, B$ là hai biến cố độc lập. Tính $P(A \cup B)$:

A. 0,9

B. 0,7

C. 0,2

D. 0,6

Câu 26: Một đề thi có 5 câu hỏi. Một học sinh xác suất làm đúng mỗi câu là 0,8. Tính xác suất học sinh đó làm đúng ít nhất 4 câu:

A. $0,8^4 \cdot 0,2 + 0,8^5$

B. $C_5^4 \cdot 0,8^4 \cdot 0,2 + 0,8^5$

C. $C_5^4 \cdot 0,8^4$

D. $1 – 0,8^5$

Câu 27: Trong một lớp học có 60% học sinh thích Toán, 50% thích Lý và 30% thích cả hai môn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, xác suất học sinh này không thích môn nào trong hai môn trên là:

A. 20%

B. 10%

C. 80%

D. 30%

Câu 28: Hai máy tự động cùng sản xuất một loại sản phẩm. Xác suất máy I sản xuất ra phế phẩm là 0,1; máy II là 0,2. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi máy một sản phẩm. Xác suất để có đúng một phế phẩm là:

A. 0,02

B. 0,26

C. 0,30

D. 0,72

PHẦN II: TỰ LUẬN (3.0 ĐIỂM)

Câu 1 (1.0 điểm): Công thức Cộng & Biến cố xung khắc

Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20. Chọn ngẫu nhiên một quả cầu. Tính xác suất để quả cầu được chọn:

• a) Ghi số chẵn hoặc là quả cầu màu đỏ.
• b) Ghi số chia hết cho 5.

Câu 2 (1.0 điểm): Công thức Nhân & Biến cố độc lập

Hai vận động viên bắn súng A và B cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập. Xác suất bắn trúng bia của A là 0,8 và của B là 0,9. Tính xác suất để:

• a) Cả hai cùng bắn trúng.
• b) Có ít nhất một người bắn trúng.

Câu 3 (1.0 điểm): Vận dụng cao (Phân loại học sinh)

Trong một kỳ thi, thí sinh phải trả lời 3 câu hỏi trắc nghiệm khách quan độc lập. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời (trong đó chỉ có 1 phương án đúng). Một học sinh không học bài nên chọn ngẫu nhiên các đáp án.

• Tính xác suất để học sinh đó trả lời đúng đúng 2 câu trong 3 câu hỏi đó.
• Nếu học sinh đó trả lời đúng cả 3 câu thì được 10 điểm, đúng 2 câu được 7 điểm, đúng 1 câu được 4 điểm và 0 câu đúng được 0 điểm. Tính khả năng (xác suất) học sinh này đạt từ 7 điểm trở lên.

Quan hệ vuông góc trong không gian

Thời gian: 90 PHÚT

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 ĐIỂM)

Câu 1: Trong không gian, cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với $a$ thì:

A. $d // b$

B. $d \perp b$

C. $d$ và $b$ chéo nhau

D. $d$ và $b$ trùng nhau

Câu 2: Cho đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$. Đường thẳng $d$ vuông góc với bao nhiêu đường thẳng nằm trong $(\alpha)$?

A. 1

B. 2

C. Vô số

D. 0

Câu 3: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Nếu đường thẳng $d \perp (\alpha)$ thì $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha)$.

B. Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(\alpha)$ thì $d \perp (\alpha)$.

C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì cắt nhau.

Câu 4: Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

Câu 5: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc nào?

A. $\widehat{SBA}$

B. $\widehat{SAB}$

C. $\widehat{SBC}$

D. $\widehat{ASB}$

Câu 6: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$. Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $B’D’$ bằng:

A. $45^\circ$

B. $90^\circ$

C. $60^\circ$

D. $30^\circ$

Câu 7: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $BC \perp (SAB)$

B. $BC \perp (SAC)$

C. $AB \perp (SBC)$

D. $AC \perp (SBC)$

Câu 8: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình chóp đều có đáy là đa giác đều.

B. Hình chóp đều có các cạnh bên bằng nhau.

C. Hình chóp có đáy là đa giác đều là hình chóp đều.

D. Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.

Câu 9: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$. Mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. $(AA’B’B)$

B. $(BCC’B’)$

C. $(A’B’C’D’)$

D. $(ADD’A’)$

Câu 10: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ và $SA=SC$, $SB=SD$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $SO \perp (ABCD)$

B. $SA \perp (ABCD)$

C. $SD \perp (ABCD)$

D. $AC \perp (SBD)$

Câu 11: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(\alpha)$ và $(\beta)$ được tính bằng:

A. Khoảng cách từ một điểm bất kỳ của $(\alpha)$ đến $(\beta)$.

B. Độ dài một đường thẳng cắt cả hai mặt phẳng.

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng đó.

D. Không xác định được.

Câu 12: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$. Độ dài đường chéo $AC’$ của hình lập phương là:

A. $a\sqrt{2}$

B. $a\sqrt{3}$

C. $2a$

D. $a$

Câu 13: Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ là $\varphi$. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?

A. $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$

B. $0^\circ < \varphi < 90^\circ$

C. $0^\circ \le \varphi \le 180^\circ$

D. $90^\circ \le \varphi \le 180^\circ$

Câu 14: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$. Khi đó hình chiếu vuông góc của $S$ lên $BC$ là điểm nào (biết $S$ không trùng $A$)?

A. Điểm $B$

B. Điểm $C$

C. Điểm $H$

D. Một điểm khác $H$

Câu 15: Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $I$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $I$, lấy điểm $S$. Khi đó, khoảng cách từ $S$ đến các đỉnh của hình vuông:

A. Bằng nhau

B. Khác nhau đôi một

C. $SA=SB \ne SC=SD$

D. $SA=SC \ne SB=SD$

Câu 16: Cho mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau theo giao tuyến $d$. Nếu đường thẳng $a$ nằm trong $(P)$ và $a \perp d$ thì:

A. $a \perp (Q)$

B. $a // (Q)$

C. $a \subset (Q)$

D. $a$ cắt $(Q)$ tại góc $45^\circ$

Câu 17: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Chiều cao $SA = a$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

D. $\frac{a^3}{3}$

Câu 18: Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là $a, 2a, 3a$. Thể tích của khối hộp chữ nhật đó bằng:

A. $6a^3$

B. $2a^3$

C. $a^3$

D. $3a^3$

Câu 19: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB = a, AC = a\sqrt{3}$. Cạnh bên $AA’ = 2a$. Thể tích khối lăng trụ là:

A. $a^3\sqrt{3}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

C. $2a^3\sqrt{3}$

D. $\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$

Câu 20: Thể tích khối lập phương có cạnh bằng $2a$ là:

A. $2a^3$

B. $4a^3$

C. $6a^3$

D. $8a^3$

Câu 21: Nếu một khối chóp có diện tích đáy tăng lên 2 lần và chiều cao giảm đi 6 lần thì thể tích của nó sẽ:

A. Tăng 2 lần

B. Giảm 3 lần

C. Giảm 4 lần

D. Không đổi

Câu 22: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$. Biết góc giữa $SC$ và đáy bằng $45^\circ$. Chiều cao $SA$ của hình chóp bằng:

A. $a$

B. $a\sqrt{2}$

C. $a\sqrt{3}$

D. $2a$

Câu 23: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A’B’C’$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Thể tích khối lăng trụ là:

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a^3}{4}$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Câu 24: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

B. Hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với nhau.

C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường này và song song với đường kia.

D. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường này đến đường kia.

Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, chiều cao $SO = a$. Tính thể tích khối chóp.

A. $\frac{a^3}{3}$

B. $a^3$

C. $\frac{a^3}{6}$

D. $\frac{a^3}{2}$

Câu 26: Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, góc $\widehat{ABC} = 60^\circ$. Chiều cao $AA’ = a\sqrt{3}$. Tính thể tích khối lăng trụ.

A. $\frac{3a^3}{2}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a^3}{2}$

D. $a^3\sqrt{3}$

Câu 27: Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt phẳng có thể là:

A. Một điểm hoặc một đường thẳng.

B. Luôn là một đường thẳng.

C. Một đường tròn.

D. Một tam giác.

Câu 28: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, $SA$ vuông góc với đáy. Biết $AB=a, BC=a\sqrt{3}$. Tính diện tích đáy $S_{\triangle ABC}$.

A. $a^2\sqrt{3}$

B. $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a^2\sqrt{3}}{3}$

D. $a^2$

Câu 29: Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là:

A. Độ dài đoạn thẳng nối $M$ với một điểm bất kỳ trên $(P)$.

B. Độ dài đoạn vuông góc kẻ từ $M$ đến $(P)$.

C. Độ dài bé nhất trong các đoạn thẳng nối $M$ với các điểm không nằm trên $(P)$.

D. Khoảng cách từ $M$ đến giao tuyến của hai mặt phẳng bất kỳ.

Câu 30: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$. Khối chóp có cùng diện tích đáy và chiều cao với khối lăng trụ đó có thể tích là:

A. $V$

B. $\frac{1}{3}V$

C. $3V$

D. $\frac{1}{2}V$

Câu 31 (Mức độ Vận dụng): Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CC’$.

A. $a$

B. $a\sqrt{2}$

C. $a\sqrt{3}$

D. $a/2$

Câu 35: Cho khối chóp có diện tích đáy $B = 6a^2$ và chiều cao $h = 2a$. Thể tích $V$ của khối chóp đã cho là:

A. $12a^3$

B. $4a^3$

C. $6a^3$

D. $2a^3$

PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 ĐIỂM)

(Trình bày chi tiết lời giải)

Bài 1 (1,0 điểm): Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và $SA = a\sqrt{3}$.

a) Chứng minh rằng $BD \perp (SAC)$.

b) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Bài 2 (1,0 điểm): Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB = BC = a$. Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A’BC)$ bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$.

Bài 3 (1,0 điểm – Vận dụng cao): Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Biết góc giữa mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$.

HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

Thời gian: 90 phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (35 CÂU – 7,0 ĐIỂM)

Câu 1: Với $a$ là số thực dương tùy ý, $a^2 \cdot \sqrt[3]{a}$ bằng:

A. $a^{\frac{5}{3}}$

B. $a^{\frac{2}{3}}$

C. $a^{\frac{7}{3}}$

D. $a^{\frac{1}{3}}$

Câu 2: Cho $0 < a \neq 1$, giá trị của $\log_a \sqrt{a}$ là:

A. $2$

B. $\frac{1}{2}$

C. $-2$

D. $\frac{1}{4}$

Câu 3: Tập xác định của hàm số $y = (x-1)^{-4}$ là:

A. $\mathbb{R}$

B. $(1; +\infty)$

C. $\mathbb{R} \setminus \{1\}$

D. $[1; +\infty)$

Câu 4: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng $(0; +\infty)$?

A. $y = \log_2 x$

B. $y = \log_{\frac{\pi}{4}} x$

C. $y = \log_{\sqrt{3}} x$

D. $y = \log_e x$

Câu 5: Nghiệm của phương trình $5^{x-1} = 25$ là:

A. $x = 2$

B. $x = 1$

C. $x = 3$

D. $x = 4$

Câu 6: Cho $a > 0, b > 0$, biểu thức $\log(ab^2)$ bằng:

A. $\log a + 2\log b$

B. $2(\log a + \log b)$

C. $\log a + \frac{1}{2}\log b$

D. $\log a – 2\log b$

Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình $2^x < 8$ là:

A. $(-\infty; 3)$

B. $(3; +\infty)$

C. $(-\infty; 4)$

D. $(2; +\infty)$

Câu 8: Cho $\log_2 3 = a$. Tính $\log_2 9$ theo $a$:

A. $a^2$

B. $3a$

C. $2a$

D. $a+2$

Câu 9: Đồ thị hàm số $y = a^x$ và $y = \log_a x$ ($0 < a \neq 1$) đối xứng nhau qua đường thẳng:

A. $y = 0$

B. $x = 0$

C. $y = x$

D. $y = -x$

Câu 10: Tập xác định của hàm số $y = \ln(x^2 – 1)$ là:

A. $(-1; 1)$

B. $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$

C. $\mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}$

D. $(1; +\infty)$

Câu 11: So sánh $M = \sqrt[3]{5}$ và $N = \sqrt[5]{3}$, khẳng định nào đúng?

A. $M < N$

B. $M = N$

C. $M > N$

D. Không so sánh được

Câu 12: Phương trình $\log_3(2x-1) = 2$ có nghiệm là:

A. $x = 5$

B. $x = \frac{9}{2}$

C. $x = 4$

D. $x = \frac{11}{2}$

Câu 13: Cho biểu thức $P = \sqrt[4]{x \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot \sqrt{x}}}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $P = x^{\frac{13}{24}}$

B. $P = x^{\frac{11}{24}}$

C. $P = x^{\frac{1}{2}}$

D. $P = x^{\frac{5}{8}}$

Câu 14: Hàm số $y = (a-2)^x$ là hàm số mũ khi:

A. $a > 2$

B. $a > 2$ và $a \neq 3$

C. $a \neq 3$

D. $a < 2$

Câu 15: Tính giá trị biểu thức $A = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 8$:

A. $1$

B. $2$

C. $3$

D. $4$

Câu 16: Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x-1) \ge -2$ là:

A. $(1; 5]$

B. $[1; 5]$

C. $(-\infty; 5]$

D. $(1; 5)$

Câu 17: Cho hàm số $f(x) = \frac{9^x}{9^x + 3}$. Tính tổng $S = f(\frac{1}{2024}) + f(\frac{2023}{2024})$:

A. $1$

B. $2$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{4}$

Câu 18: Phương trình $9^x – 3^{x+1} – 4 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 19: Đường cong của hàm số $y = \log_a x$ (với $a > 1$) có đặc điểm:

A. Luôn đi qua điểm $(0;1)$

B. Luôn nằm bên phải trục tung

C. Có tiệm cận ngang là trục hoành

D. Nghịch biến trên tập xác định

Câu 20: Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình $4^x – 2^{x+1} + m = 0$ có nghiệm:

A. $m \le 1$

B. $m < 1$

C. $m > 0$

D. $m \ge 1$

Câu 21: Tìm $x$ biết $\log_2 x + \log_2(x-1) = 1$:

A. $x = 2$

B. $x = 1$

C. $x = -1$

D. $x = 3$

Câu 22: Một người gửi tiết kiệm lãi suất 7%/năm (lãi kép). Sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu?

A. 9 năm

B. 10 năm

C. 11 năm

D. 12 năm

Câu 23: Cho $a, b > 0$ và $a^2 + b^2 = 7ab$. Khẳng định nào đúng?

A. $2\log(a+b) = \log a + \log b$

B. $\log \frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(\log a + \log b)$

C. $\log(a+b) = \frac{3}{2}(\log a + \log b)$

D. $2\log \frac{a+b}{3} = \log a – \log b$

Câu 24: Giải bất phương trình $3^{x^2 – 4} < 27$:

A. $- \sqrt{7} < x < \sqrt{7}$

B. $x < \sqrt{7}$

C. $x > 3$

D. $2 < x < 3$

Câu 25: Nếu $\log_a b > 0$ và $a > 1$ thì:

A. $b > 1$

B. $0 < b < 1$

C. $b > 0$

D. $b = 1$

Câu 26: Biểu thức $\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}$ viết dưới dạng lũy thừa là:

A. $x^{\frac{1}{8}}$

B. $x^{\frac{7}{8}}$

C. $x^{\frac{3}{4}}$

D. $x^{\frac{1}{2}}$

Câu 27: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_3(x^2 – 1) \le 1$:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Câu 28: Phương trình $\log_2^2 x – \log_2(8x) + 3 = 0$ tương đương với phương trình nào?

A. $\log_2^2 x – \log_2 x = 0$

B. $\log_2^2 x – \log_2 x – 6 = 0$

C. $\log_2^2 x – \log_2 x – 3 = 0$

D. $\log_2^2 x – \log_2 x + 6 = 0$

Câu 29: Với $a, b$ dương và $a \neq 1$, giá trị $a^{4\log_{a^2} b}$ bằng:

A. $b^2$

B. $b^4$

C. $b^8$

D. $b$

Câu 30: Hàm số $y = \log_2(x^2 – 2x + m)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi:

A. $m > 1$

B. $m \ge 1$

C. $m < 1$

D. $m > 0$

Câu 31: Nếu $\log_{12} 6 = a, \log_{12} 7 = b$ thì $\log_2 7$ bằng:

A. $\frac{a}{1-b}$

B. $\frac{b}{1-a}$

C. $\frac{a}{1+b}$

D. $\frac{b}{1+a}$

Câu 32: Tìm tổng các nghiệm của phương trình $2^{x^2-x} = 4$:

A. 1

B. 2

C. -1

D. 0

Câu 33: Cho $x, y > 0$ thỏa mãn $\log_9 x = \log_{12} y = \log_{16}(x+y)$. Tính tỉ số $\frac{x}{y}$:

A. $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

B. $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{3}{4}$

Câu 34: Bất phương trình $m \cdot 9^x – (2m+1) \cdot 3^x + m + 1 > 0$ nghiệm đúng với mọi $x$ khi:

A. $m > 0$

B. $m \ge 0$

C. $m > -1$

D. $m \le 0$

Câu 35: Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $0 \le x \le 2024$ và $\log_3(3x+3) + x = 2y + 9^y$?

A. 2

B. 4

C. 7

D. 2024

PHẦN II: TỰ LUẬN (3,0 ĐIỂM)

Bài 1 (1,0 điểm):

Rút gọn biểu thức sau: $A = \frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}$ (với $x, y > 0$).

Bài 2 (1,0 điểm):

Giải phương trình sau: $\log_2(x^2 – x + 2) = \log_2(x+5)$.

Bài 3 (1,0 điểm):

Cường độ ánh sáng khi đi qua môi trường nước giảm dần theo công thức $I = I_0 \cdot e^{-\mu x}$, trong đó $I_0$ là cường độ ánh sáng ban đầu (tại mặt nước), $x$ là độ sâu (mét) và $\mu$ là hệ số hấp thụ của nước ($\mu \approx 1,4$ đối với nước biển). Hỏi ở độ sâu bao nhiêu mét thì cường độ ánh sáng chỉ còn bằng $10\%$ so với cường độ ánh sáng tại mặt nước?

GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC

Thời gian làm bài: 90 phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)

Câu 1: Giới hạn $\lim \frac{1}{n}$ bằng:

A. $+\infty$

B. $-\infty$

C. $0$

D. $1$

Câu 2: Cho $\lim u_n = L$. Khi đó $\lim \sqrt{u_n}$ (với $u_n \ge 0, L \ge 0$) bằng:

A. $L$

B. $\sqrt{L}$

C. $L^2$

D. $\frac{L}{2}$

Câu 3: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ ($|q| < 1$) là:

A. $S = \frac{u_1}{1-q}$

B. $S = \frac{u_1}{1+q}$

C. $S = u_1(1-q)$

D. $S = \frac{1-q}{u_1}$

Câu 4: Hàm số $y = f(x)$ liên tục tại điểm $x_0$ khi:

A. $f(x_0)$ tồn tại

B. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại

C. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$

D. $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$

Câu 5: Tính giới hạn $L = \lim \frac{2n + 1}{n – 3}$:

A. $L = 2$

B. $L = -\frac{1}{3}$

C. $L = +\infty$

D. $L = 1$

Câu 6: Tính $\lim_{x \to 2} (x^2 – 3x + 1)$:

A. $1$

B. $-1$

C. $11$

D. $0$

Câu 7: Cho hàm số $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$. Hàm số gián đoạn tại:

A. $x = -1$

B. $x = 0$

C. $x = 1$

D. $x = 2$

Câu 8: Tính $L = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 – 1}{2x^2 + 3}$:

A. $L = 0$

B. $L = \frac{1}{2}$

C. $L = +\infty$

D. $L = -\frac{1}{3}$

Câu 9: Giới hạn $\lim \frac{3^n – 4^n}{3^n + 4^n}$ bằng:

A. $1$

B. $-1$

C. $0$

D. $\frac{3}{4}$

Câu 10: Cho cấp số nhân lùi vô hạn có $u_1 = 1$ và $q = -\frac{1}{2}$. Tổng $S$ là:

A. $S = \frac{2}{3}$

B. $S = \frac{3}{2}$

C. $S = 2$

D. $S = \frac{1}{2}$

Câu 11: Tính $L = \lim_{x \to 1^-} \frac{x+2}{x-1}$:

A. $L = +\infty$

B. $L = -\infty$

C. $L = 3$

D. $L = 1$

Câu 12: Tính $L = \lim_{x \to -\infty} (x^3 – 2x^2 + 1)$:

A. $L = +\infty$

B. $L = -\infty$

C. $L = 1$

D. $L = 0$

Câu 13: Giới hạn $L = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ bằng:

A. $1$

B. $\frac{1}{2}$

C. $0$

D. $2$

Câu 14: Hàm số nào sau đây liên tục trên $\mathbb{R}$?

A. $y = \tan x$

B. $y = \frac{x}{x^2+1}$

C. $y = \sqrt{x-1}$

D. $y = \frac{1}{x}$

Câu 15: Cho $\lim_{x \to x_0} f(x) = 3$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = -2$. Tính $\lim_{x \to x_0} [2f(x) – g(x)]$:

A. $4$

B. $8$

C. $1$

D. $7$

Câu 16: Tìm khẳng định sai:

A. $\lim q^n = 0$ ($|q| < 1$)

B. $\lim \frac{1}{n^k} = 0$ ($k \in \mathbb{N}^*$)

C. $\lim n^k = +\infty$ ($k \in \mathbb{N}^*$)

D. $\lim c = 0$ ($c$ là hằng số)

Câu 17: Tính $L = \lim \frac{1+2+3+\dots+n}{n^2+1}$:

A. $L = 0$

B. $L = 1$

C. $L = \frac{1}{2}$

D. $L = +\infty$

Câu 18: Cho $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ khi $x \neq 1$ và $f(1) = m$. Tìm $m$ để hàm số liên tục tại $x=1$:

A. $m = 1$

B. $m = 2$

C. $m = 0$

D. $m = -1$

Câu 19: Tính $L = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} – x)$:

A. $L = 0$

B. $L = +\infty$

C. $L = \frac{1}{2}$

D. $L = 1$

Câu 20: Giới hạn $L = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$ bằng:

A. $L = \frac{1}{3}$

B. $L = 1$

C. $L = 3$

D. $L = 0$

Câu 21: Cho phương trình $x^3 – 3x + 1 = 0$. Khẳng định nào đúng?

A. Phương trình vô nghiệm.

B. Có ít nhất một nghiệm trong $(-1; 1)$.

C. Phương trình chỉ có nghiệm dương.

D. Phương trình vô nghiệm trong $(0; 2)$.

Câu 22: Tính $L = \lim \frac{\sqrt{4n^2+1} – n}{2n + 3}$:

A. $L = \frac{1}{2}$

B. $L = 1$

C. $L = 2$

D. $L = \frac{3}{2}$

Câu 23: Giới hạn $L = \lim_{x \to 2^+} \frac{|2-x|}{2x-4}$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. $-\frac{1}{2}$

C. $0$

D. Không tồn tại

Câu 24: Tìm $a$ để $f(x) = \begin{cases} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} & x > 1 \\ ax + 1 & x \le 1 \end{cases}$ liên tục tại $x=1$:

A. $a=1$

B. $a=2$

C. $a=0$

D. $a=-1$

Câu 25: Tính $L = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$:

A. $L = 1$

B. $L = -1$

C. $L = 0$

D. $L = +\infty$

Câu 26: Cho $(u_n)$ thỏa $|u_n – 2| < \frac{1}{n}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$. Khi đó $\lim u_n$ bằng:

A. $0$

B. $1$

C. $2$

D. Không tồn tại

Câu 27: Tính tổng $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots$:

A. $S = \frac{3}{2}$

B. $S = 2$

C. $S = \frac{4}{3}$

D. $S = 3$

Câu 28: Nếu $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x)=0$:

A. Vô nghiệm trên khoảng $(a; b)$.

B. Có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(a; b)$.

C. Luôn đồng biến trên khoảng $(a; b)$.

D. Luôn nghịch biến trên khoảng $(a; b)$.

PHẦN II: TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Câu 1 (1,0 điểm): Tính các giới hạn:

a) $A = \lim \frac{\sqrt{n^2 + 2n} – n}{3n + 1}$

b) $B = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x – 3}{x – 1}$

Câu 2 (1,0 điểm): Xét tính liên tục của hàm số tại $x_0 = 2$:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 – 4}{x – 2} & \text{khi } x \neq 2 \\ 4 & \text{khi } x = 2 \end{cases}$$

Câu 3 (1,0 điểm): Tìm tham số $m$ để hàm số sau liên tục tại $x = 0$:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+1} – 1}{x} & \text{khi } x > 0 \\ 2x + m^2 – 3m & \text{khi } x \le 0 \end{cases}$$

QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (7,0 ĐIỂM – 28 CÂU)

Câu 1: Trong không gian, qua 3 điểm không thẳng hàng, ta xác định được bao nhiêu mặt phẳng?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. Vô số.

Câu 2: Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 3: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Hình biểu diễn của hình vuông là hình bình hành.

B. Hình biểu diễn của một tam giác cân là một tam giác cân.

C. Hình biểu diễn của một đường tròn là một đường elip.

D. Phép chiếu song song bảo toàn tính song song của hai đường thẳng.

Câu 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là:

A. Đường thẳng qua $S$ và song song với $AD$.

B. Đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$.

C. Đường thẳng $SO$ ($O$ là giao hai đường chéo).

D. Đường thẳng $SA$.

Câu 5: Nếu $a \parallel (\alpha)$ và đường thẳng $b \subset (\alpha)$ thì $a$ và $b$ có thể:

A. Song song hoặc chéo nhau.

B. Cắt nhau.

C. Trùng nhau.

D. Luôn chéo nhau.

Câu 6: Hai mặt phẳng song song với nhau khi:

A. Chúng cùng song song với một đường thẳng.

B. Có một mặt phẳng thứ ba cắt cả hai mặt phẳng đó.

C. Mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

D. Chúng không có điểm chung và cùng nằm trong một mặt cầu.

Câu 7: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BB’$ và $CC’$. Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. $(ABC)$.

B. $(AA’B’B)$.

C. $(ACC’A’)$.

D. $(AMN)$.

Câu 8: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Gọi $H$ là trung điểm của $A’B’$. Mặt phẳng $(AHC’)$ cắt lăng trụ theo thiết diện là hình gì?

A. Tam giác.

B. Hình bình hành.

C. Hình thang.

D. Hình chữ nhật.

Câu 9: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $d$ là giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $d$ qua $S$ và song song với $AB$.

B. $d$ qua $S$ và song song với $BC$.

C. $d$ là đường thẳng $SO$.

D. $d$ trùng với $SD$.

Câu 10: Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Nếu mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì:

A. $a$ cắt $b$.

B. $a \parallel b$.

C. $a$ và $b$ chéo nhau.

D. $a \perp b$.

Câu 11: Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $G$ và song song với $(BCD)$. Thiết diện của hình chóp cắt bởi $(\alpha)$ là:

A. Một điểm.

B. Một đoạn thẳng.

C. Một tam giác.

D. Một tứ giác.

Câu 12: Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng:

A. Song song.

B. Cắt nhau.

C. Song song hoặc trùng nhau.

D. Chéo nhau.

Câu 13: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Mặt phẳng $(AB’D’)$ song song với mặt phẳng nào sau đây?

A. $(BA’C’)$.

B. $(C’BD)$.

C. $(BC’D)$.

D. $(ACD’)$.

Câu 14: Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $G, K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB$ và $SBC$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $GK \parallel (SAC)$.

B. $GK \parallel (ABC)$.

C. $GK \perp (ABC)$.

D. $GK$ chéo $AC$.

Câu 15: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N, P, Q, R, S$ là trung điểm các cạnh $AB, CD, BC, AD, AC, BD$. $MN, PQ, RS$ cắt nhau tại $G$. $G$ là:

A. Trọng tâm của tứ diện.

B. Tâm đường tròn ngoại tiếp.

C. Trực tâm của tứ diện.

D. Tâm đường tròn nội tiếp.

Câu 16: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Gọi $I, J, K$ lần lượt là tâm của các mặt bên. Mặt phẳng $(IJK)$ song song với mặt phẳng:

A. $(ABC)$.

B. $(AA’B’B)$.

C. $(BCC’B’)$.

D. $(ACC’A’)$.

Câu 17: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Đường thẳng $AC’$ đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $BDA’$. Tỉ số $\frac{AG}{AC’}$ bằng:

A. $1/2$.

B. $1/3$.

C. $1/4$.

D. $2/3$.

Câu 18: Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Hình chiếu song song của $G$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ là $G’$. Khẳng định nào đúng?

A. $G’$ là trọng tâm của tam giác $A’B’C’$.

B. $G’$ là trung điểm của $A’B’$.

C. $G’$ nằm ngoài tam giác $A’B’C’$.

D. $A’G’ = B’G’ = C’G’$.

Câu 19: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm $SD$. Giao điểm của $BM$ với mặt phẳng $(SAC)$ là:

A. Giao điểm của $BM$ với $SO$ ($O$ là tâm đáy).

B. Giao điểm của $BM$ với $SA$.

C. Giao điểm của $BM$ với $SC$.

D. Điểm $M$.

Câu 20: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $I, J$ là trung điểm của $SA, SB$. Khẳng định nào sai?

A. $IJ \parallel (SCD)$.

B. $IJ \parallel (ABCD)$.

C. $IJ \parallel CD$.

D. $IJ$ cắt $AD$.

Câu 21: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang ($AB \parallel CD, AB = 2CD$). Gọi $M$ là trung điểm $SA$. $(MBC)$ cắt $SD$ tại $N$. Tỉ số $SN/SD$ là:

A. $1/2$.

B. $1/3$.

C. $2/3$.

D. $3/4$.

Câu 22: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G_1, G_2, G_3$ là trọng tâm các tam giác $ABC, ACD, ABD$. Phát biểu nào sai?

A. $(G_1G_2G_3) \parallel (BCD)$.

B. $G_1G_2 \parallel CD$.

C. $G_1G_3 \parallel BC$.

D. $\triangle G_1G_2G_3$ đồng dạng với $\triangle BCD$ tỉ số $k = 2/3$.

Câu 23: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Hình chiếu song song của điểm $A’$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ theo phương chiếu $CC’$ là:

A. Điểm $A$.

B. Điểm $B$.

C. Điểm $C$.

D. Điểm $D$.

Câu 24: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. $M$ là trung điểm $SC$. Mặt phẳng $(P)$ qua $AM, \parallel BD$ cắt $SB, SD$ tại $E, F$. Tỉ số $SE/SB$ là:

A. $1/2$.

B. $1/3$.

C. $2/3$.

D. $1/4$.

Câu 25: Cho hình chóp $S.ABC$. $M \in SA$ sao cho $SM=2MA, N \in BC$ sao cho $NC=2NB$. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua $MN, \parallel AB$ là:

A. Tam giác.

B. Hình thang.

C. Hình bình hành.

D. Tứ giác.

Câu 26: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.

B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.

C. Nếu $a \parallel (P)$ thì tồn tại trong $(P)$ một đường thẳng $b$ sao cho $b \parallel a$.

D. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cũng cắt mặt phẳng còn lại.

Câu 27: Cho lăng trụ $ABC.A’B’C’$. $M, N$ là trung điểm $BB’, CC’$. Giao điểm của $AM$ với mặt phẳng $(A’BC)$ là:

A. Điểm $M$.

B. Trung điểm của $A’B$.

C. Giao điểm của $AM$ và $A’B$.

D. Không có giao điểm.

Câu 28: Cho tứ diện $ABCD$. $M$ là trung điểm $AB$. Mặt phẳng $(P)$ qua $M, \parallel AC, BD$. Thiết diện là hình thoi khi:

A. $AC = BD$.

B. $AC \perp BD$.

C. $AB = CD$.

D. $AD = BC$.

PHẦN II: TỰ LUẬN (3.0 điểm)

Câu 1 (1.0 điểm): Nhận biết & Thông hiểu

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang ($AB \parallel CD$, $AB > CD$). Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.

• a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$.
• b) Chứng minh rằng $CD$ song song với mặt phẳng $(SAB)$.

Câu 2 (1.0 điểm): Vận dụng

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Gọi $G, G’$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $A’B’C’$.

• Chứng minh rằng đường thẳng $GG’$ song song với mặt phẳng $(ABB’A’)$ và mặt phẳng $(ACC’A’)$.

Câu 3 (1.0 điểm): Vận dụng cao

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là một điểm di động trên cạnh $SC$. Một mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $AM$ và song song với $BD$.

• a) Chứng minh $(\alpha)$ luôn đi qua một đường thẳng cố định khi $M$ di động.
• b) Gọi $E, F$ lần lượt là giao điểm của $(\alpha)$ với các cạnh $SB, SD$. Tìm vị trí của $M$ trên $SC$ để diện tích tứ giác $AEMF$ đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc một tỉ lệ thể tích cụ thể).

CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Thời gian làm bài: 90 phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm – Mỗi câu 0,25đ)

Câu 1 (Nhận biết): Giá trị đại diện của nhóm $[a; b)$ được tính theo công thức:

A. $x = a + b$

B. $x = b – a$

C. $x = \frac{a+b}{2}$

D. $x = \sqrt{ab}$

Câu 2 (Nhận biết): Trong mẫu số liệu ghép nhóm, nhóm có tần số lớn nhất được gọi là:

A. Nhóm trung vị.

B. Nhóm chứa mốt.

C. Nhóm trung bình.

D. Nhóm tứ phân vị.

Câu 3 (Thông hiểu): Cho mẫu số liệu về thời gian tự học (phút) của học sinh: $[30; 60)$ có tần số là 10. Giá trị đại diện và tần số tích lũy của nhóm này (giả sử đây là nhóm đầu tiên) là:

A. 45 và 10.

B. 30 và 10.

C. 60 và 10.

D. 45 và 30.

Câu 4 (Thông hiểu): Công thức tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} n_i x_i$. Trong đó $n_i$ là:

A. Giá trị đại diện.

B. Tần số của nhóm $i$.

C. Độ dài của nhóm.

D. Tổng số số liệu.

Câu 5 (Thông hiểu): Tổng số mẫu ($n$) của bảng số liệu trên là bao nhiêu?

A. 80

B. 90

C. 100

D. 110

Câu 6 (Thông hiểu): Nhóm chứa trung vị ($M_e$) của mẫu số liệu là:

A. $[0; 1)$

B. $[1; 2)$

C. $[2; 3)$

D. $[3; 4)$

Câu 7 (Vận dụng): Tần số tích lũy $cf_2$ (đến hết nhóm thứ hai) là:

A. 10

B. 35

C. 75

D. 100

Câu 8 (Vận dụng): Công thức tính Trung vị cho mẫu ghép nhóm là $M_e = L + \left( \frac{\frac{n}{2} – cf_{k-1}}{n_k} \right) \cdot h$. Giá trị $L$ (đầu mút trái của nhóm chứa trung vị) trong bảng trên là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Câu 9 (Vận dụng): Tính giá trị Trung vị ($M_e$) của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm):

A. 2,38

B. 2,50

C. 2,15

D. 2,62

Câu 10 (Thông hiểu): Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) là:

A. $[0; 1)$

B. $[1; 2)$

C. $[2; 3)$

D. $[3; 4)$

Câu 11 (Vận dụng): Giá trị của tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) là:

A. 1,5

B. 1,6

C. 1,4

D. 1,8

Câu 12 (Thông hiểu): Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) là:

A. $[1; 2)$

B. $[2; 3)$

C. $[3; 4)$

D. $[4; 5)$

Câu 13 (Vận dụng): Giá trị của tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) là:

A. 3,0

B. 3,5

C. 2,8

D. 3,2

Câu 14 (Vận dụng): Khoảng tứ phân vị $\Delta Q = Q_3 – Q_1$ của mẫu số liệu này bằng:

A. 1,5

B. 1,4

C. 2,0

D. 1,8

Câu 15 (Thông hiểu): Nhóm chứa mốt ($M_o$) của mẫu số liệu là:

A. $[1; 2)$

B. $[2; 3)$

C. $[3; 4)$

D. $[4; 5)$

Câu 16 (Vận dụng): Tính mốt ($M_o$) của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần mười):

A. 2,3

B. 2,5

C. 2,6

D. 2,8

Câu 17 (Nhận biết): Nếu thay đổi tần số của nhóm $[4; 5)$ từ 10 thành 20, giá trị nào sau đây chắc chắn thay đổi?

A. Số trung bình $\bar{x}$

B. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$

C. Giá trị đại diện nhóm 1

D. Không có giá trị nào đổi.

Dữ liệu cho Câu 18, 19, 20

Khảo sát cân nặng của 50 học sinh lớp 11:

• Nhóm 1: $[40; 45)$ có 5 học sinh
• Nhóm 2: $[45; 50)$ có 12 học sinh
• Nhóm 3: $[50; 55)$ có 18 học sinh
• Nhóm 4: $[55; 60)$ có 10 học sinh
• Nhóm 5: $[60; 65)$ có 5 học sinh

Câu 18: Số trung bình ($\bar{x}$) của mẫu số liệu cân nặng trên là:

A. 52,1 kg

B. 52,5 kg

C. 53,0 kg

D. 51,8 kg

Câu 19: Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) là:

A. $[45; 50)$

B. $[50; 55)$

C. $[55; 60)$

D. $[60; 65)$

Câu 20: Nếu một học sinh nặng 54 kg thì vị trí của bạn đó so với trung vị ($M_e$) của nhóm là:

A. Nhẹ hơn trung vị

B. Nặng hơn trung vị

C. Bằng đúng trung vị

D. Không đủ dữ kiện để so sánh

Dữ liệu cho Câu 21, 22, 23

Điểm kiểm tra Toán của 50 học sinh:

• Nhóm $[4; 5)$: 2 học sinh
• Nhóm $[5; 6)$: 8 học sinh
• Nhóm $[6; 7)$: 15 học sinh
• Nhóm $[7; 8)$: 12 học sinh
• Nhóm $[8; 9)$: 8 học sinh
• Nhóm $[9; 10]$: 5 học sinh

Câu 21: Tần số tích lũy của nhóm $[7; 8)$ là:

A. 12

B. 25

C. 37

D. 45

Câu 22: Trung vị ($M_e$) của mẫu số liệu điểm số là:

A. 7,00

B. 7,08

C. 6,95

D. 7,15

Câu 23: Mốt ($M_o$) của mẫu số liệu điểm số (làm tròn đến 0,1) là:

A. 6,5

B. 6,7

C. 6,4

D. 6,9

Câu 24: Một mẫu số liệu có $Q_1 = 25$ và $Q_3 = 45$. Ngưỡng trên để một giá trị bị coi là “ngoại lai” (lớn bất thường) theo quy tắc $Q_3 + 1,5 \times (Q_3 – Q_1)$ là:

A. 65

B. 70

C. 75

D. 80

Câu 25: Khi tất cả các nhóm số liệu có tần số bằng nhau, ta có thể nhận xét gì về số trung bình $\bar{x}$?

A. $\bar{x}$ bằng trung điểm của khoảng biến thiên toàn bộ mẫu.

B. $\bar{x}$ luôn bằng 0.

C. Không thể tính được số trung bình.

D. Số trung bình luôn lớn hơn mốt.

Câu 26 (Vận dụng): Khi so sánh độ tập trung của hai mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi của hai lớp có cùng số trung bình, giá trị nào sau đây cho biết mẫu số liệu nào có độ phân tán thấp hơn (điểm số đồng đều hơn)?

A. Khoảng biến thiên.

B. Giá trị Mốt ($M_o$).

C. Khoảng tứ phân vị ($\Delta Q = Q_3 – Q_1$).

D. Tần số tích lũy của nhóm cuối cùng.

Câu 27 (Vận dụng cao): Một mẫu số liệu ghép nhóm về lương của nhân viên một công ty có số trung bình là $\bar{x} = 15$ triệu đồng và trung vị là $M_e = 12$ triệu đồng. Nhận xét nào sau đây về hình dáng phân bố của mẫu số liệu là hợp lý nhất?

A. Phân bố đối xứng (hình chuông cân).

B. Phân bố lệch phải (có một số ít nhân viên có mức lương cao vượt trội kéo số trung bình lên).

C. Phân bố lệch trái (đa số nhân viên có mức lương cao).

D. Không thể nhận xét gì về hình dáng phân bố.

Câu 28 (Vận dụng cao): Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của linh kiện điện tử. Nếu ta tăng tất cả các đầu mút của các nhóm lên thêm 10 đơn vị và giữ nguyên tần số của các nhóm, thì các giá trị Số trung bình ($\bar{x}$), Trung vị ($M_e$) và Mốt ($M_o$) sẽ thay đổi như thế nào?

A. Cả ba giá trị đều tăng thêm 10 đơn vị.

B. Cả ba giá trị đều không thay đổi.

C. Chỉ có Số trung bình tăng 10 đơn vị, còn lại giữ nguyên.

D. Cả ba giá trị đều tăng lên 10 lần.

PHẦN II: TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1 (1,0 điểm): Cho bảng số liệu về chiều cao của 40 cây bạch đàn trong một vườn ươm:

Chiều cao (m)	[6,5;7,0)	[7,0;7,5)	[7,5;8,0)	[8,0;8,5)	[8,5;9,0)
Số cây	4	8	15	9	4

a) Tính chiều cao trung bình của 40 cây bạch đàn này.

b) Xác định nhóm chứa mốt và tính mốt ($M_o$) của mẫu số liệu.

Bài 2 (1,0 điểm): Dựa vào bảng số liệu ở Bài 1, hãy tìm Trung vị ($M_e$) và Tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$). Nêu ý nghĩa của giá trị Trung vị tìm được.

Bài 3 (1,0 điểm – Vận dụng cao): Một cửa hàng thống kê doanh thu bán hàng trong 30 ngày (đơn vị: triệu đồng) và chia thành các nhóm. Biết rằng nếu doanh thu trung bình trên 50 triệu/ngày thì cửa hàng đạt chỉ tiêu.

• Hãy lập một bảng số liệu ghép nhóm giả định (gồm 5 nhóm) sao cho số trung bình xấp xỉ 52 triệu đồng.
• Giải thích tại sao trong trường hợp dữ liệu có giá trị ngoại lai (quá lớn hoặc quá bé), ta nên dùng Trung vị thay vì Số trung bình để đánh giá doanh thu?

DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Thời gian làm bài: 90 phút

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7.0 điểm – Mỗi câu 0.35 điểm)

Câu 1 (Bài 5): Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = 2n + 1$. Ba số hạng đầu tiên của dãy là:

A. $1, 3, 5$

B. $3, 5, 7$

C. $2, 4, 6$

D. $3, 6, 9$

Câu 2 (Bài 6): Một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1 = -3$ và công sai $d = 2$. Số hạng thứ 5 của cấp số cộng đó là:

A. $7$

B. $5$

C. $10$

D. $1$

Câu 3 (Bài 7): Cho cấp số nhân $(v_n)$ có $v_1 = 3$ và công bội $q = -2$. Số hạng tổng quát $v_n$ là:

A. $v_n = 3 \cdot (-2)^n$

B. $v_n = 3 \cdot (-2)^{n-1}$

C. $v_n = -2 \cdot 3^{n-1}$

D. $v_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

Câu 4 (Bài 6): Tổng $S_n$ của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính theo công thức nào?

A. $S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$

B. $S_n = \frac{n}{2}[u_1 + d]$

C. $S_n = n[2u_1 + (n-1)d]$

D. $S_n = \frac{n}{2}[u_1 + u_n]$

Câu 5 (Bài 7): Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 2, u_2 = 6$. Công bội $q$ của cấp số nhân này bằng:

A. $4$

B. $3$

C. $12$

D. $1/3$

Câu 6 (Bài 5): Dãy số nào sau đây là dãy số bị chặn?

A. $u_n = n^2$

B. $u_n = 2^n$

C. $u_n = \sin(n)$

D. $u_n = n + \frac{1}{n}$

Câu 7 (Bài 6): Cho cấp số cộng có $u_2 = 5$ và $u_3 = 8$. Công sai $d$ bằng:

A. $3$

B. $-3$

C. $13$

D. $3/2$

Câu 8 (Bài 7): Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân với $q \neq 1$ là:

A. $S_n = \frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

B. $S_n = u_1 \cdot q^{n-1}$

C. $S_n = \frac{u_1(1-q)}{1-q^n}$

D. $S_n = \frac{n(u_1+u_n)}{2}$

Câu 9 (Bài 5): Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?

A. $u_n = 2n + 5$

B. $u_n = n^2 – 1$

C. $u_n = \frac{1}{n+2}$

D. $u_n = (-2)^n$

Câu 10 (Bài 6): Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = -5$ và $d = 3$. Số $100$ là số hạng thứ mấy của cấp số cộng này?

A. Thứ 34

B. Thứ 35

C. Thứ 36

D. Không thuộc dãy số này.

Câu 11 (Bài 7): Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 3, q = \frac{1}{2}$. Tính tổng 5 số hạng đầu tiên $S_5$.

A. $\frac{93}{16}$

B. $\frac{31}{16}$

C. $\frac{93}{32}$

D. $\frac{31}{32}$

Câu 12 (Bài 6): Ba số $x, 5, 2x+1$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Giá trị của $x$ là:

A. $x = 4$

B. $x = 3$

C. $x = 2$

D. $x = 5$

Câu 13 (Bài 7): Cho cấp số nhân có $u_1 = -2$ và $u_2 = 8$. Công bội $q$ bằng:

A. $4$

B. $-4$

C. $10$

D. $-6$

Câu 14 (Bài 5): Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1 = 2; u_{n+1} = u_n + 3n$. Số hạng $u_3$ bằng:

A. 5

B. 8

C. 11

D. 14

Câu 15 (Bài 6): Giữa hai số 3 và 19, ta xen thêm 3 số nữa để được một cấp số cộng có 5 số hạng. Công sai $d$ của cấp số đó là:

A. 4

B. 5

C. 3

D. 6

Câu 16 (Bài 7): Ba số $a, b, c$ lập thành một cấp số nhân. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $b = \frac{a+c}{2}$

B. $b^2 = ac$

C. $b = ac$

D. $b^2 = a+c$

Câu 17 (Bài 5): Xét tính bị chặn của dãy số $u_n = \frac{2n-1}{n+1}$. Khẳng định nào đúng?

A. Dãy số bị chặn dưới bởi 0 và chặn trên bởi 2.

B. Dãy số chỉ bị chặn trên bởi 2.

C. Dãy số chỉ bị chặn dưới bởi $1/2$.

D. Dãy số bị chặn dưới bởi $1/2$ và chặn trên bởi 2.

Câu 18 (Bài 6): Một rạp hát có 20 hàng ghế. Hàng đầu tiên có 15 ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 2 ghế. Tổng số ghế của rạp hát là:

A. 680 ghế

B. 700 ghế

C. 710 ghế

D. 800 ghế

Câu 19 (Bài 7): Tìm tất cả giá trị của $x$ để ba số $x-1; x; x+2$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A. $x = 2$

B. $x = -2$

C. $x = 1$

D. $x = -1$

Câu 20 (Bài 7 – Nâng cao): Cho cấp số nhân có $u_1 = 1, q = 2$. Hỏi phải cộng bao nhiêu số hạng đầu tiên để được tổng bằng $1023$?

A. 8 số hạng

B. 9 số hạng

C. 10 số hạng

D. 11 số hạng

PHẦN II. TỰ LUẬN (3.0 điểm)

Bài 1 (1.0 điểm):

Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn hệ phương trình:

$$\begin{cases} u_1 + u_5 = 20 \\ u_3 + u_6 = 25 \end{cases}$$

a) Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$.

b) Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của dãy số đó.

Bài 2 (1.0 điểm):

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 3$ và $u_2 = 6$.

a) Tìm công bội $q$ và số hạng thứ 10.

b) Số $1536$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

Bài 3 (1.0 điểm – Vận dụng cao/Thực tế):

Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền 100 triệu đồng với lãi suất $0.6\%$/tháng theo hình thức lãi kép (tiền lãi của tháng này được cộng vào vốn để tính lãi cho tháng sau).

a) Thiết lập công thức số tiền người đó nhận được sau $n$ tháng (giả sử không rút tiền).

b) Sau ít nhất bao nhiêu tháng thì người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi nhiều hơn 120 triệu đồng?

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Thời gian: 90 phút

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7.0 điểm – Mỗi câu 0.35 điểm)

Câu 1 (Bài 1): Đổi số đo của góc $\alpha = 150^\circ$ sang đơn vị radian.

A. $\frac{4\pi}{5}$

B. $\frac{5\pi}{6}$

C. $\frac{2\pi}{3}$

D. $\frac{\pi}{6}$

Câu 2 (Bài 1): Trên đường tròn lượng giác, điểm biểu diễn cung có số đo $\frac{\pi}{2}$ nằm ở đâu?

A. Trục hoành bên phải.

B. Trục hoành bên trái.

C. Trục tung phía trên.

D. Trục tung phía dưới.

Câu 3 (Bài 2): Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

B. $\cos(a+b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

C. $\sin 2a = 2\sin a$

D. $\cos 2a = \cos^2 a + \sin^2 a$

Câu 4 (Bài 3): Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là:

A. $\mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$

B. $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$

C. $\mathbb{R}$

D. $[-1; 1]$

Câu 5 (Bài 3): Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. $y = \sin x$

B. $y = \cos x$

C. $y = \tan x$

D. $y = \cot x$

Câu 6 (Bài 4): Nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ là:

A. $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$

B. $x = k\pi$

C. $x = \pi + k2\pi$

D. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$

Câu 7 (Bài 1): Cho góc lượng giác $(Ou, Ov)$ có số đo là $\frac{\pi}{4}$. Số đo tổng quát của các góc lượng giác $(Ou, Ov)$ là:

A. $\frac{\pi}{4} + k\pi$

B. $\frac{\pi}{4} + k2\pi$

C. $-\frac{\pi}{4} + k2\pi$

D. $\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$

Câu 8 (Bài 2): Rút gọn biểu thức $A = \sin(x + \frac{\pi}{3}) – \sin(x – \frac{\pi}{3})$.

A. $A = \cos x$

B. $A = \sqrt{3} \sin x$

C. $A = \sqrt{3} \cos x$

D. $A = 2 \cos x$

Câu 9 (Bài 2): Tính giá trị của $P = \cos 75^\circ \cdot \cos 15^\circ$.

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

D. $1$

Câu 10 (Bài 3): Tìm giá trị lớn nhất ($M$) và giá trị nhỏ nhất ($m$) của hàm số $y = 3\sin 2x – 5$.

A. $M = -2, m = -8$

B. $M = 3, m = -3$

C. $M = -2, m = -5$

D. $M = 8, m = 2$

Câu 11 (Bài 3): Chu kỳ tuần hoàn của hàm số $y = \cot 2x$ là:

A. $T = \pi$

B. $T = 2\pi$

C. $T = \frac{\pi}{2}$

D. $T = \frac{\pi}{4}$

Câu 12 (Bài 4): Phương trình $\cos x = \cos \frac{\pi}{3}$ có nghiệm là:

A. $x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi$

B. $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi$

C. $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$

D. $x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi$

Câu 13 (Bài 4): Số nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ trên đoạn $[0; 2\pi]$ là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 14 (Bài 2): Biết $\tan a = 2$. Tính giá trị của $\tan 2a$.

A. $-\frac{4}{3}$

B. $\frac{4}{3}$

C. $-\frac{3}{4}$

D. $4$

Câu 15 (Bài 3): Đồ thị hàm số $y = \sin x$ đi qua điểm nào sau đây?

A. $(0; 1)$

B. $(\pi; 0)$

C. $(\frac{\pi}{2}; 0)$

D. $(\pi; -1)$

Câu 16 (Bài 4): Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. $\sin x = -0,5$

B. $\cos x = \frac{2}{3}$

C. $\tan x = 100$

D. $\cos x = -1,2$

Câu 17 (Bài 1): Một đường tròn có bán kính $R = 10 \text{ cm}$. Độ dài cung tròn có số đo $\frac{\pi}{5}$ là:

A. $2\pi \text{ cm}$

B. $5\pi \text{ cm}$

C. $\pi \text{ cm}$

D. $20 \text{ cm}$

Câu 18 (Bài 2): Biến đổi tích thành tổng: $\cos 5x \cos 3x$ bằng:

A. $\frac{1}{2}(\cos 8x + \cos 2x)$

B. $\frac{1}{2}(\cos 8x – \cos 2x)$

C. $\cos 8x + \cos 2x$

D. $\sin 8x + \sin 2x$

Câu 19 (Bài 3): Hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $(0; \pi)$

B. $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$

C. $(-\pi; 0)$

D. $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$

Câu 20 (Bài 4): Nghiệm của phương trình $\cot x = \sqrt{3}$ là:

A. $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$

B. $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$

C. $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$

D. $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$

PHẦN II. TỰ LUẬN (3.0 điểm)

Bài 1 (1.0 điểm): Cho $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$ với $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Tính giá trị của $\sin \alpha$ và $\tan \alpha$.

Bài 2 (1.0 điểm): Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\sqrt{3}\tan(x – \frac{\pi}{6}) = 1$

b) $\cos 2x – 3\cos x + 2 = 0$

Bài 3 (1.0 điểm – Nâng cao): Một chiếc đu quay có bán kính $10m$. Tâm của vòng quay ở độ cao $12m$ so với mặt đất. Đu quay quay đều với tốc độ $1$ vòng/phút. Thiết lập hàm số tính độ cao $h$ của một cabin theo thời gian $t$ (giây) và tìm thời điểm đầu tiên cabin đạt độ cao $17m$.