CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
Thời gian làm bài: 90 phút
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm – Mỗi câu 0,25đ)
Câu 1 (Nhận biết): Giá trị đại diện của nhóm $[a; b)$ được tính theo công thức:
A. $x = a + b$
B. $x = b – a$
C. $x = \frac{a+b}{2}$
D. $x = \sqrt{ab}$
Câu 2 (Nhận biết): Trong mẫu số liệu ghép nhóm, nhóm có tần số lớn nhất được gọi là:
A. Nhóm trung vị.
B. Nhóm chứa mốt.
C. Nhóm trung bình.
D. Nhóm tứ phân vị.
Câu 3 (Thông hiểu): Cho mẫu số liệu về thời gian tự học (phút) của học sinh: $[30; 60)$ có tần số là 10. Giá trị đại diện và tần số tích lũy của nhóm này (giả sử đây là nhóm đầu tiên) là:
A. 45 và 10.
B. 30 và 10.
C. 60 và 10.
D. 45 và 30.
Câu 4 (Thông hiểu): Công thức tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{k} n_i x_i$. Trong đó $n_i$ là:
A. Giá trị đại diện.
B. Tần số của nhóm $i$.
C. Độ dài của nhóm.
D. Tổng số số liệu.
Câu 5 (Thông hiểu): Tổng số mẫu ($n$) của bảng số liệu trên là bao nhiêu?
A. 80
B. 90
C. 100
D. 110
Câu 6 (Thông hiểu): Nhóm chứa trung vị ($M_e$) của mẫu số liệu là:
A. $[0; 1)$
B. $[1; 2)$
C. $[2; 3)$
D. $[3; 4)$
Câu 7 (Vận dụng): Tần số tích lũy $cf_2$ (đến hết nhóm thứ hai) là:
A. 10
B. 35
C. 75
D. 100
Câu 8 (Vận dụng): Công thức tính Trung vị cho mẫu ghép nhóm là $M_e = L + \left( \frac{\frac{n}{2} – cf_{k-1}}{n_k} \right) \cdot h$. Giá trị $L$ (đầu mút trái của nhóm chứa trung vị) trong bảng trên là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Câu 9 (Vận dụng): Tính giá trị Trung vị ($M_e$) của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm):
A. 2,38
B. 2,50
C. 2,15
D. 2,62
Câu 10 (Thông hiểu): Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) là:
A. $[0; 1)$
B. $[1; 2)$
C. $[2; 3)$
D. $[3; 4)$
Câu 11 (Vận dụng): Giá trị của tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$) là:
A. 1,5
B. 1,6
C. 1,4
D. 1,8
Câu 12 (Thông hiểu): Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) là:
A. $[1; 2)$
B. $[2; 3)$
C. $[3; 4)$
D. $[4; 5)$
Câu 13 (Vận dụng): Giá trị của tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) là:
A. 3,0
B. 3,5
C. 2,8
D. 3,2
Câu 14 (Vận dụng): Khoảng tứ phân vị $\Delta Q = Q_3 – Q_1$ của mẫu số liệu này bằng:
A. 1,5
B. 1,4
C. 2,0
D. 1,8
Câu 15 (Thông hiểu): Nhóm chứa mốt ($M_o$) của mẫu số liệu là:
A. $[1; 2)$
B. $[2; 3)$
C. $[3; 4)$
D. $[4; 5)$
Câu 16 (Vận dụng): Tính mốt ($M_o$) của mẫu số liệu (làm tròn đến hàng phần mười):
A. 2,3
B. 2,5
C. 2,6
D. 2,8
Câu 17 (Nhận biết): Nếu thay đổi tần số của nhóm $[4; 5)$ từ 10 thành 20, giá trị nào sau đây chắc chắn thay đổi?
A. Số trung bình $\bar{x}$
B. Tứ phân vị thứ nhất $Q_1$
C. Giá trị đại diện nhóm 1
D. Không có giá trị nào đổi.
Dữ liệu cho Câu 18, 19, 20
Khảo sát cân nặng của 50 học sinh lớp 11:
- Nhóm 1: $[40; 45)$ có 5 học sinh
- Nhóm 2: $[45; 50)$ có 12 học sinh
- Nhóm 3: $[50; 55)$ có 18 học sinh
- Nhóm 4: $[55; 60)$ có 10 học sinh
- Nhóm 5: $[60; 65)$ có 5 học sinh
Câu 18: Số trung bình ($\bar{x}$) của mẫu số liệu cân nặng trên là:
A. 52,1 kg
B. 52,5 kg
C. 53,0 kg
D. 51,8 kg
Câu 19: Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba ($Q_3$) là:
A. $[45; 50)$
B. $[50; 55)$
C. $[55; 60)$
D. $[60; 65)$
Câu 20: Nếu một học sinh nặng 54 kg thì vị trí của bạn đó so với trung vị ($M_e$) của nhóm là:
A. Nhẹ hơn trung vị
B. Nặng hơn trung vị
C. Bằng đúng trung vị
D. Không đủ dữ kiện để so sánh
Dữ liệu cho Câu 21, 22, 23
Điểm kiểm tra Toán của 50 học sinh:
- Nhóm $[4; 5)$: 2 học sinh
- Nhóm $[5; 6)$: 8 học sinh
- Nhóm $[6; 7)$: 15 học sinh
- Nhóm $[7; 8)$: 12 học sinh
- Nhóm $[8; 9)$: 8 học sinh
- Nhóm $[9; 10]$: 5 học sinh
Câu 21: Tần số tích lũy của nhóm $[7; 8)$ là:
A. 12
B. 25
C. 37
D. 45
Câu 22: Trung vị ($M_e$) của mẫu số liệu điểm số là:
A. 7,00
B. 7,08
C. 6,95
D. 7,15
Câu 23: Mốt ($M_o$) của mẫu số liệu điểm số (làm tròn đến 0,1) là:
A. 6,5
B. 6,7
C. 6,4
D. 6,9
Câu 24: Một mẫu số liệu có $Q_1 = 25$ và $Q_3 = 45$. Ngưỡng trên để một giá trị bị coi là “ngoại lai” (lớn bất thường) theo quy tắc $Q_3 + 1,5 \times (Q_3 – Q_1)$ là:
A. 65
B. 70
C. 75
D. 80
Câu 25: Khi tất cả các nhóm số liệu có tần số bằng nhau, ta có thể nhận xét gì về số trung bình $\bar{x}$?
A. $\bar{x}$ bằng trung điểm của khoảng biến thiên toàn bộ mẫu.
B. $\bar{x}$ luôn bằng 0.
C. Không thể tính được số trung bình.
D. Số trung bình luôn lớn hơn mốt.
Câu 26 (Vận dụng): Khi so sánh độ tập trung của hai mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi của hai lớp có cùng số trung bình, giá trị nào sau đây cho biết mẫu số liệu nào có độ phân tán thấp hơn (điểm số đồng đều hơn)?
A. Khoảng biến thiên.
B. Giá trị Mốt ($M_o$).
C. Khoảng tứ phân vị ($\Delta Q = Q_3 – Q_1$).
D. Tần số tích lũy của nhóm cuối cùng.
Câu 27 (Vận dụng cao): Một mẫu số liệu ghép nhóm về lương của nhân viên một công ty có số trung bình là $\bar{x} = 15$ triệu đồng và trung vị là $M_e = 12$ triệu đồng. Nhận xét nào sau đây về hình dáng phân bố của mẫu số liệu là hợp lý nhất?
A. Phân bố đối xứng (hình chuông cân).
B. Phân bố lệch phải (có một số ít nhân viên có mức lương cao vượt trội kéo số trung bình lên).
C. Phân bố lệch trái (đa số nhân viên có mức lương cao).
D. Không thể nhận xét gì về hình dáng phân bố.
Câu 28 (Vận dụng cao): Cho mẫu số liệu ghép nhóm về tuổi thọ của linh kiện điện tử. Nếu ta tăng tất cả các đầu mút của các nhóm lên thêm 10 đơn vị và giữ nguyên tần số của các nhóm, thì các giá trị Số trung bình ($\bar{x}$), Trung vị ($M_e$) và Mốt ($M_o$) sẽ thay đổi như thế nào?
A. Cả ba giá trị đều tăng thêm 10 đơn vị.
B. Cả ba giá trị đều không thay đổi.
C. Chỉ có Số trung bình tăng 10 đơn vị, còn lại giữ nguyên.
D. Cả ba giá trị đều tăng lên 10 lần.
PHẦN II: TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Bài 1 (1,0 điểm): Cho bảng số liệu về chiều cao của 40 cây bạch đàn trong một vườn ươm:
| Chiều cao (m) | [6,5;7,0) | [7,0;7,5) | [7,5;8,0) | [8,0;8,5) | [8,5;9,0) |
| Số cây | 4 | 8 | 15 | 9 | 4 |
a) Tính chiều cao trung bình của 40 cây bạch đàn này.
b) Xác định nhóm chứa mốt và tính mốt ($M_o$) của mẫu số liệu.
Bài 2 (1,0 điểm): Dựa vào bảng số liệu ở Bài 1, hãy tìm Trung vị ($M_e$) và Tứ phân vị thứ nhất ($Q_1$). Nêu ý nghĩa của giá trị Trung vị tìm được.
Bài 3 (1,0 điểm – Vận dụng cao): Một cửa hàng thống kê doanh thu bán hàng trong 30 ngày (đơn vị: triệu đồng) và chia thành các nhóm. Biết rằng nếu doanh thu trung bình trên 50 triệu/ngày thì cửa hàng đạt chỉ tiêu.
- Hãy lập một bảng số liệu ghép nhóm giả định (gồm 5 nhóm) sao cho số trung bình xấp xỉ 52 triệu đồng.
- Giải thích tại sao trong trường hợp dữ liệu có giá trị ngoại lai (quá lớn hoặc quá bé), ta nên dùng Trung vị thay vì Số trung bình để đánh giá doanh thu?