Định lý côsin
Trong tam giác $ABC$ bất kỳ với các cạnh $a, b, c$ tương ứng đối diện với các góc $A, B, C$:
- $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$
- $b^2 = c^2 + a^2 – 2ca \cos B$
- $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C$
Định lý Pythagore chính là một trường hợp đặc biệt của Định lý côsin
Thật vậy,
Xét tam giác $ABC$ bất kỳ có các cạnh $a, b, c$ và góc $A$ đối diện với cạnh $a$. Theo Định lý côsin, ta luôn có:
$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A$$
Nếu tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ (tức là góc $A = 90^\circ$):
- Theo lý thuyết lượng giác, ta biết rằng $\cos 90^\circ = 0$.
- Thay giá trị này vào công thức Định lý côsin:$$a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cdot 0$$$$a^2 = b^2 + c^2$$
- Kết quả thu được chính là biểu thức của Định lý Pythagore (với $a$ là cạnh huyền, $b$ và $c$ là hai cạnh góc vuông).
Kết luận: Vậy Định lý Pythagore là trường hợp riêng của Định lý côsin khi góc xen giữa hai cạnh bằng $90^\circ$.