Bài 3.18: Trên biển, tàu $B$ ở vị trí cách tàu $A$ một khoảng $53$ km về hướng $N34^\circ E$. Tàu $B$ bắt đầu chuyển động thẳng đều với vận tốc $v_B = 30$ km/h về hướng Đông. Cùng lúc đó, tàu $A$ chuyển động thẳng đều với vận tốc $v_A = 50$ km/h để đuổi kịp tàu $B$. Giả sử hai tàu gặp nhau tại điểm $C$.
- a) Hỏi tàu $A$ cần phải chuyển động theo hướng nào (xác định góc $\alpha = \widehat{BAC}$)?
- b) Sau bao lâu thì tàu $A$ đuổi kịp tàu $B$?
Giải
a) Xác định hướng chuyển động của tàu $A$
Tính góc $\widehat{ABC}$
Hướng của tàu $B$ so với tàu $A$ là $N34^\circ E$, nghĩa là góc hợp bởi hướng Bắc và $AB$ là $34^\circ$.
Tàu $B$ đi về hướng Đông (vuông góc với hướng Bắc).
Dựa vào hình vẽ 3.20, góc $\widehat{ABC}$ là góc ngoài của tam giác tại đỉnh $B$ so với hướng Đông. Ta có góc hợp bởi $AB$ và hướng Tây là $90^\circ – 34^\circ = 56^\circ$.
Vì tàu $B$ đi về hướng Đông, góc $\widehat{ABC} = 180^\circ – 56^\circ = 124^\circ$.
Sử dụng định lý Sin tìm góc $\alpha$
Xét tam giác $ABC$, ta có:
$$\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}} = \frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} \iff \frac{30t}{\sin \alpha} = \frac{50t}{\sin 124^\circ}$$
Rút gọn $t$ ở cả hai vế (vì $t > 0$):
$$\frac{30}{\sin \alpha} = \frac{50}{\sin 124^\circ} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{30 \cdot \sin 124^\circ}{50}$$
$$\sin \alpha \approx \frac{30 \cdot 0,829}{50} \approx 0,4974$$
$$\Rightarrow \alpha \approx 29,83^\circ \text{ (hoặc xấp xỉ } 30^\circ\text{)}$$
Trả lời: Tàu $A$ cần chuyển động theo hướng tạo với $AB$ một góc $\alpha \approx 29,83^\circ$ về phía Đông.
b) Thời gian tàu $A$ đuổi kịp tàu $B$
Tính góc $\widehat{ACB}$
Tổng ba góc trong tam giác bằng $180^\circ$:
$$\widehat{ACB} = 180^\circ – (\widehat{ABC} + \alpha) = 180^\circ – (124^\circ + 29,83^\circ) = 26,17^\circ$$
Tính thời gian $t$
Áp dụng định lý Sin cho cặp cạnh $AB$ và $AC$:
$$\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}} = \frac{AC}{\sin \widehat{ABC}} \iff \frac{53}{\sin 26,17^\circ} = \frac{50t}{\sin 124^\circ}$$
$$50t = \frac{53 \cdot \sin 124^\circ}{\sin 26,17^\circ}$$
$$50t \approx \frac{53 \cdot 0,829}{0,441} \approx 99,62$$
$$t \approx \frac{99,62}{50} \approx 1,99 \text{ (giờ)}$$
Trả lời: Sau khoảng 2 giờ thì tàu $A$ sẽ đuổi kịp tàu $B$.