Chứng minh: $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0$ (với $k$ là số nguyên dương)
Giải
Cho trước một số dương $\varepsilon$ tùy ý (dù nhỏ đến mức nào).
Cần tìm một số tự nhiên $n_0$ sao cho với mọi $n > n_0$, ta có $\left| \frac{1}{n^k} – 0 \right| < \varepsilon$.
Xét bất đẳng thức: $\left| \frac{1}{n^k} \right| < \varepsilon$.
Vì $n$ và $k$ đều dương, ta có: $\frac{1}{n^k} < \varepsilon \iff n^k > \frac{1}{\varepsilon}$.
Chọn $n_0$:
Ta chọn $n_0$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $\sqrt[k]{\frac{1}{\varepsilon}}$ (kí hiệu là $\left[ \sqrt[k]{\frac{1}{\varepsilon}} \right]$).
Kết luận:
Với mọi $n > n_0$, ta luôn có $n > \sqrt[k]{\frac{1}{\varepsilon}}$, dẫn đến $\frac{1}{n^k} < \varepsilon$. Theo định nghĩa, ta có: $\mathbf{\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^k} = 0}$.