Chứng minh: Nếu $|u_n| \leq v_n$ và $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$ thì $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$
Giải
Theo định nghĩa $\lim v_n = 0$,
Với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại $n_0$ sao cho với mọi $n > n_0$ thì $|v_n| < \varepsilon$.
Vì $v_n$ thường được hiểu là dãy không âm theo đề bài (do $v_n \geq |u_n|$),
Ta có:
$v_n < \varepsilon$
Từ giả thiết:
$|u_n| \leq v_n < \varepsilon$.
Như vậy, với cùng số $n_0$ đó, ta có $|u_n| < \varepsilon$ với mọi $n > n_0$.
Theo định nghĩa, $\mathbf{\lim_{n \to +\infty} u_n = 0}$.