CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

PHẦN 1: LÝ THUYẾT, CÔNG THỨC VÀ Ý NGHĨA LỊCH SỬ

Định nghĩa:
- Hàm số đồng biến (tăng) trên $K \Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$. Đồ thị đi lên từ trái sang phải.
- Hàm số nghịch biến (giảm) trên $K \Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$. Đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
Điều kiện cần và đủ (Đạo hàm): Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng $K$.
- Nếu $f'(x) \geq 0, \forall x \in K$ (dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm) $\Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên $K$.
- Nếu $f'(x) \leq 0, \forall x \in K$ (dấu bằng chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm) $\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $K$.
Ý nghĩa & Nguồn gốc: Đạo hàm chính là độ dốc (hệ số góc) của tiếp tuyến tại một điểm trên đồ thị. Nếu độ dốc dương ($f'(x) > 0$), đồ thị đang đi lên; nếu độ dốc âm ($f'(x) < 0$), đồ thị đang đi xuống.

Định nghĩa: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$.
- $M = \max_{D} f(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) \leq M, \forall x \in D \\ \exists x_0 \in D: f(x_0) = M \end{cases}$
- $m = \min_{D} f(x) \Leftrightarrow \begin{cases} f(x) \geq m, \forall x \in D \\ \exists x_0 \in D: f(x_0) = m \end{cases}$
Định lý Weierstrass: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn $[a; b]$ đều chắc chắn tồn tại cả GTLN và GTNN trên đoạn đó.
Ý nghĩa: Đây là cơ sở của các bài toán tối ưu hóa trong thực tế (Kinh tế: tối đa hóa lợi nhuận, tối thiểu hóa chi phí; Kỹ thuật: tiết kiệm vật liệu nhất khi chế tạo…).

Tiệm cận đứng (TCĐ): Đường thẳng $x = x_0$ là TCĐ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:$$\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \pm\infty$$(Mẹo nhanh với hàm phân thức: $x_0$ thường là nghiệm của mẫu số nhưng không là nghiệm của tử số).
Tiệm cận ngang (TCN): Đường thẳng $y = y_0$ là TCN nếu ít nhất một trong các điều kiện sau thỏa mãn:$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = y_0 \quad \text{hoặc} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = y_0$$
Ý nghĩa: Tiệm cận mô tả hành vi của hàm số ở “vô cực” hoặc tại những điểm hàm số không xác định (bị bùng nổ giá trị). Nó vạch ra ranh giới giới hạn mà đồ thị tiến sát đến nhưng không bao giờ chạm vào.

Sơ đồ khảo sát chung:
1. Tìm tập xác định.
2. Xét sự biến thiên: Tính $f'(x)$, tìm nghiệm $f'(x)=0$, tính các giới hạn (và tiệm cận nếu có), lập bảng biến thiên.
3. Vẽ đồ thị: Tìm giao điểm với các trục tọa độ ($Ox, Oy$), lấy thêm các điểm đặc biệt để vẽ chính xác.

Ý tưởng lõi của chương này chính là Phép tính vi phân (Calculus). Nó được phát minh độc lập vào cuối thế kỷ 17 bởi hai vĩ nhân:

Sir Isaac Newton (Người Anh): Ông tiếp cận đạo hàm dưới góc nhìn vật lý để tính “vận tốc tức thời” (gọi là phương pháp luồng số – fluxions) nhằm giải quyết các bài toán chuyển động thiên thể.
Gottfried Wilhelm Leibniz (Người Đức): Ông tiếp cận dưới góc nhìn hình học để tìm hệ số góc của tiếp tuyến và ký hiệu toán học đạo hàm dạng $\frac{dy}{dx}$ vô cùng tiện lợi mà chúng ta vẫn dùng ngày nay.

Các nhà toán học bổ trợ lớn cho chương này:

Michel Rolle (Người Pháp): Tác giả của Định lý Rolle (nếu $f(a)=f(b)$ thì tồn tại điểm $c$ sao cho $f'(c)=0$), đây là nền tảng cốt lõi để chứng minh các tính chất về cực trị và sự biến thiên.
Joseph-Louis Lagrange (Người Ý/Pháp): Mở rộng định lý Rolle thành Định lý giá trị trung bình (Định lý Lagrange), phát biểu rằng một hàm số luôn có một điểm có tốc độ thay đổi tức thời bằng với tốc độ thay đổi trung bình trên toàn đoạn.
Karl Weierstrass (Người Đức): Ông được mệnh danh là “cha đẻ của giải tích hiện đại”, người đưa ra định lý nghiêm ngặt chứng minh sự tồn tại của GTLN và GTNN trên một đoạn đóng.

Bài toán 1: Cho công thức hàm số cụ thể, tìm khoảng đồng biến/nghịch biến.
- Phương pháp: Tính $f'(x)$ $\rightarrow$ Giải $f'(x) = 0$ $\rightarrow$ Lập bảng xét dấu $f'(x)$ $\rightarrow$ Kết luận (khoảng $f'(x) > 0$ là đồng biến, $f'(x) < 0$ là nghịch biến).
Bài toán 2: Tìm tham số $m$ để hàm số đơn điệu trên khoảng $K$.
- Phương pháp: Yêu cầu bài toán tương đương với $f'(x) \geq 0$ (hoặc $\leq 0$) $\forall x \in K$. Sử dụng phương pháp cô lập tham số $m$ đưa về dạng $m \geq g(x)$ (thì $m \geq \max g(x)$) hoặc $m \leq g(x)$ (thì $m \leq \min g(x)$).

Bài toán 1: Tìm GTLN, GTNN trên một đoạn $[a; b]$.
- Phương pháp (Không cần lập bảng biến thiên):
  1. Tính $f'(x)$. Tìm các nghiệm $x_1, x_2, … \in [a;b]$ của phương trình $f'(x)=0$ (hoặc nơi đạo hàm không xác định).
  2. Tính các giá trị: $f(a)$, $f(b)$, $f(x_1)$, $f(x_2)…$
  3. Số lớn nhất trong các giá trị trên là GTLN ($\max$), số nhỏ nhất là GTNN ($\min$).
Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN trên một khoảng $(a; b)$ hoặc tập xác định bất kỳ.
- Phương pháp: Bắt buộc phải lập bảng biến thiên. Dựa vào hướng đi lên/đi xuống của mũi tên và các giá trị giới hạn ở các đầu mút để kết luận giá trị cao nhất hoặc thấp nhất.

Bài toán: Tìm các đường tiệm cận của hàm phân thức $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$.
- Phương pháp tìm TCĐ: Tìm các nghiệm của mẫu $Q(x) = 0$. Thay các nghiệm đó lên tử $P(x)$, nếu tử khác $0$ (hoặc sau khi rút gọn tử vẫn không triệt tiêu hết mẫu) thì đường thẳng $x = x_0$ đó là TCĐ.
- Phương pháp tìm TCN: So sánh bậc của tử số $P(x)$ và mẫu số $Q(x)$:
  - Nếu Bậc tử < Bậc mẫu $\Rightarrow$ TCN là đường thẳng $y = 0$ (trục $Ox$).
  - Nếu Bậc tử = Bậc mẫu $\Rightarrow$ TCN là $y = \frac{\text{Hệ số bậc cao nhất của tử}}{\text{Hệ số bậc cao nhất của mẫu}}$.
  - Nếu Bậc tử > Bậc mẫu $\Rightarrow$ Không có TCN.

Phương pháp:
- Nhìn vào các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang để loại đáp án sai.
- Nhìn giao điểm với trục tung $Oy$ (cho $x=0 \Rightarrow y=?$) và trục hoành $Ox$ (cho $y=0 \Rightarrow x=?$).
- Nhìn hướng của nhánh cuối cùng bên phải đồ thị: nếu đi lên thì hệ số của bậc cao nhất dương ($a>0$), nếu đi xuống thì $a<0$.