Danh mục: TOÁN 12

THỜI GIAN: 90 phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (28 CÂU – 7.0 ĐIỂM)

Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ có $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (1; 3)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

• A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$.
• B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; 3)$.
• C. Hàm số đạt cực đại tại $x=2$.
• D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng $f(2)$.

Câu 2: Hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 5$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

• A. $(0; 2)$
• B. $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$
• C. $(-\infty; 2)$
• D. $(0; +\infty)$

Câu 3: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x + 2$ là:

• A. $(1; 0)$
• B. $(-1; 4)$
• C. $(0; 2)$
• D. $(1; 4)$

Câu 4: Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x) = x^4 – 2x^2 + 3$ trên đoạn $[0; 2]$ là:

• A. 3
• B. 2
• C. 11
• D. 15

Câu 5: Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}$ là:

• A. 0
• B. 1
• C. 2
• D. 3

Câu 6: Đường thẳng nào sau đây là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{2x-1}{x+2}$?

• A. $y = 2$
• B. $x = 2$
• C. $x = -2$
• D. $y = -2$

Câu 7: Đồ thị hàm số $y = \frac{x^2+2x+2}{x+1}$ có tiệm cận xiên là:

• A. $y = x+1$
• B. $y = x-1$
• C. $y = x$
• D. $y = 2x$

Câu 8: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba $y = x^3 – 3x^2 + 1$ là điểm:

• A. $(1; -1)$
• B. $(1; 1)$
• C. $(0; 1)$
• D. $(2; -3)$

Câu 9: Cho hàm số $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?

• A. $ac > 0, bd < 0$
• B. $ad – bc > 0$
• C. $ad – bc < 0$
• D. $c=0$

Câu 10: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^4 – 2x^2$ và trục hoành là:

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

Câu 11: Một vật chuyển động theo quy luật $s(t) = -t^3 + 9t^2$. Vận tốc lớn nhất của vật đạt được tại thời điểm $t$ bằng:

• A. $t=3$
• B. $t=6$
• C. $t=0$
• D. $t=9$

Câu 12: Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – mx^2 + (m^2-4)x + 3$ đạt cực đại tại $x=3$.

• A. $m=1$
• B. $m=5$
• C. $m=1$ hoặc $m=5$
• D. Không tồn tại $m$.

Câu 13: Cho hàm số $y = \frac{x+1}{x-2}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

• A. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.
• B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$.
• C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 2)$ and $(2; +\infty)$.
• D. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.

Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 – 3x^2 + mx + 1$ có hai điểm cực trị.

• A. $m < 3$
• B. $m \leq 3$
• C. $m > 3$
• D. $m < 0$

Câu 15: Đồ thị hàm số $y = \frac{2x^2 – 3x + 1}{x – 1}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

• A. 1
• B. 2
• C. 0
• D. 3

Câu 16: Gọi $M, m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x+1}{x-1}$ trên đoạn $[2; 3]$. Tính $S = M + m$.

• A. $S = 5$
• B. $S = 4$
• C. $S = 2$
• D. $S = 3$

Câu 17: Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

(Giả sử cực đại tại $x=-1, y=3$; cực tiểu tại $x=1, y=-1$).

Số nghiệm thực của phương trình $2f(x) – 3 = 0$ là:

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 0

Câu 18: Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y = x^4 – 2mx^2 + 1$ có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.

• A. $m = -1$
• B. $m = 1$
• C. $m = 2$
• D. $m = 0$

Câu 19: Đường thẳng $y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2x+1}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi:

• A. $m \in \mathbb{R}$
• B. $m > 1$
• C. $m < -3$
• D. $m < -3$ hoặc $m > 1$

Câu 20: Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí $A$ cách bờ biển một khoảng $AB = 4km$. Trên bờ biển có một kho hàng tại vị trí $C$ cách $B$ một khoảng $7km$. Người canh hải đăng có thể chèo thuyền từ $A$ đến $M$ trên bờ biển với vận tốc $3km/h$ rồi đi bộ từ $M$ đến $C$ với vận tốc $5km/h$. Khoảng cách $BM$ bằng bao nhiêu để thời gian di chuyển là ngắn nhất?

• A. $3km$
• B. $4km$
• C. $5km$
• D. $2km$

Câu 21: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x-2}$ là:

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 1

Câu 22: Cho hàm số $y = ax^4 + bx^2 + c$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

(Hình vẽ: Đồ thị chữ W, cắt trục tung tại điểm âm, đuôi hướng lên)

• A. $a > 0, b < 0, c < 0$
• B. $a > 0, b > 0, c < 0$
• C. $a < 0, b > 0, c < 0$
• D. $a > 0, b < 0, c > 0$

Câu 23: Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{mx+4}{x+m}$ nghịch biến trên khoảng $(1; +\infty)$.

• A. $-2 < m < 2$
• B. $-2 \leq m \leq 2$
• C. $-2 < m \leq -1$
• D. $m > 2$

Câu 24: Một vật nặng được treo vào đầu lò xo làm lò xo dãn ra. Tọa độ của vật tại thời điểm $t$ cho bởi $s(t) = 5\sin(2t)$. Vận tốc của vật tại thời điểm $t = \pi/4$ là:

• A. 10
• B. 0
• C. 5
• D. -10

Câu 25: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$ là:

• A. 2
• B. 4
• C. 1
• D. 5

Câu 26: Đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$ và đồ thị hàm số $y = -x^2 + 2$ có tất cả bao nhiêu điểm chung?

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 0

Câu 27: Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x-1}{x^2 – 2x + m}$ có đúng hai đường tiệm cận.

• A. $m = 1$ hoặc $m > 1$
• B. $m < 1$
• C. $m = 1$
• D. $m \neq 1$

Câu 28: Một cơ sở sản xuất dự định làm một chiếc thùng hình trụ không nắp có thể tích $V$. Để tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (diện tích toàn phần nhỏ nhất) thì tỉ số giữa bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ của thùng phải bằng:

• A. $r/h = 1$
• B. $r/h = 1/2$
• C. $r/h = 2$
• D. $r/h = 1/3$

PHẦN II: TỰ LUẬN (3.0 ĐIỂM)

Bài 1 (1.0 điểm): Khảo sát hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: $y = \frac{x+2}{x-1}$.

Bài 2 (1.0 điểm): Biện luận tham số

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $x^3 – 3x^2 + 2 – m = 0$ có 3 nghiệm phân biệt. (Gợi ý: Sử dụng đồ thị hàm số đã khảo sát ở các bài trước).

Bài 3 (1.0 điểm): Toán thực tế (Tối ưu hóa)

Một tấm tôn hình vuông cạnh $60 cm$. Người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập lên để thành một hình hộp chữ nhật không nắp. Tính cạnh của hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp thu được là lớn nhất.

THỜI GIAN: 45 phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (14 CÂU – 7.0 ĐIỂM)

Câu 1: Trong vật lý, đạo hàm bậc nhất của quãng đường $s(t)$ theo thời gian $t$ đại diện cho đại lượng nào?

• A. Gia tốc.
• B. Vận tốc tức thời.
• C. Lực.
• D. Công suất.

Câu 2: Gia tốc tức thời của một chuyển động tại thời điểm $t$ là đạo hàm bậc mấy của hàm quãng đường $s(t)$?

• A. Bậc nhất.
• B. Bậc hai.
• C. Bậc ba.
• D. Không phải đạo hàm.

Câu 3: Ý nghĩa của bài toán tối ưu hóa trong kinh tế là gì?

• A. Tìm cách để doanh thu thấp nhất.
• B. Tìm giá trị lớn nhất (lợi nhuận) hoặc giá trị nhỏ nhất (chi phí).
• C. Vẽ đồ thị tăng trưởng của doanh nghiệp.
• D. Tính tổng số nhân viên.

Câu 4: Một vật chuyển động có phương trình $s(t) = t^2 + 2t$. Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 3$ là:

• A. 5
• B. 8
• C. 6
• D. 10

Câu 5: Tốc độ thay đổi của diện tích hình vuông theo cạnh $a$ khi $a = 5$ là bao nhiêu?

• A. 10
• B. 25
• C. 20
• D. 5

Câu 6: Một công ty sản xuất $x$ sản phẩm với chi phí $C(x) = x^2 + 10x + 100$. Chi phí biên (tốc độ thay đổi chi phí) tại mức sản xuất 50 sản phẩm là:

• A. 100
• B. 110
• C. 120
• D. 60

Câu 7: Một quả bóng được ném lên cao có độ cao $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$. Độ cao cực đại mà quả bóng đạt được là:

• A. 21m
• B. 20m
• C. 15m
• D. 25m

Câu 8: Để rào một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $100 m^2$ cạnh bức tường thẳng (không cần rào cạnh tường), chu vi rào ngắn nhất khi kích thước các cạnh là:

• A. $10m \times 10m$
• B. $5m \times 20m$
• C. $20m \times 5m$
• D. Một kết quả khác.

Câu 9: Cho hàm lợi nhuận $P(x) = -x^2 + 100x – 500$. Để lợi nhuận tối đa, doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

• A. 100
• B. 50
• C. 25
• D. 500

Câu 10: Tốc độ thay đổi thể tích của một khối cầu $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ theo bán kính $r$ khi $r = 2$ là:

• A. $16\pi$
• B. $4\pi$
• C. $8\pi$
• D. $12\pi$

Câu 11: Một chiếc hộp không nắp được làm từ một tấm nhôm hình vuông cạnh $12 cm$ bằng cách cắt bỏ 4 hình vuông cạnh $x$ ở 4 góc rồi gập lên. Thể tích hộp lớn nhất khi $x$ bằng:

• A. $2 cm$
• B. $3 cm$
• C. $4 cm$
• D. $1 cm$

Câu 12: Khi sản xuất $x$ đơn vị sản phẩm, doanh thu là $R(x)$ và chi phí là $C(x)$. Điều kiện để lợi nhuận đạt cực trị là:

• A. $R(x) = C(x)$
• B. $R'(x) = C'(x)$
• C. $R'(x) = 0$
• D. $C'(x) = 0$

Câu 13: Một đoàn tàu chuyển động chậm dần đều rồi dừng hẳn. Phương trình quãng đường là $s(t) = 20t – 0.5t^2$. Tàu dừng hẳn sau bao lâu?

• A. 10 giây
• B. 20 giây
• C. 40 giây
• D. 5 giây

Câu 14: Nhu cầu của một mặt hàng được tính bởi $D(p) = 100 – 2p$ ($p$ là giá). Doanh thu $R(p) = p \cdot D(p)$ đạt cực đại tại giá $p$ bằng:

• A. 50
• B. 25
• C. 20
• D. 10

PHẦN II: TỰ LUẬN (3.0 ĐIỂM)

Bài 1 (1.5 điểm):

Một nông dân có 600m lưới thép gai muốn rào thành hai chuồng gia súc hình chữ nhật bằng nhau và chung nhau một cạnh (như hình vẽ bên dưới). Tìm kích thước của mỗi chuồng để tổng diện tích của hai chuồng là lớn nhất.

Bài 2 (1.5 điểm):

Một người chèo thuyền từ điểm $A$ trên bờ biển muốn đến điểm $C$ trên đảo (như hình vẽ). Khoảng cách từ đảo đến bờ biển là $CB = 3 km$, khoảng cách $AB = 8 km$. Biết rằng người đó có thể chèo thuyền với vận tốc $4 km/h$ và đi bộ trên bờ với vận tốc $5 km/h$. Hỏi người đó nên cập bờ tại điểm $D$ cách $B$ bao nhiêu km để thời gian di chuyển từ $A$ đến $C$ là ít nhất?

THỜI GIAN: 45 Phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (14 CÂU – 7.0 ĐIỂM)

Câu 1: Sơ đồ chung để khảo sát hàm số gồm các bước theo thứ tự nào sau đây?

• A. Tìm TXĐ $\rightarrow$ Lập bảng biến thiên $\rightarrow$ Xét chiều biến thiên và cực trị $\rightarrow$ Vẽ đồ thị.
• B. Tìm TXĐ $\rightarrow$ Xét chiều biến thiên và cực trị $\rightarrow$ Lập bảng biến thiên $\rightarrow$ Vẽ đồ thị.
• C. Vẽ đồ thị $\rightarrow$ Tìm TXĐ $\rightarrow$ Xét chiều biến thiên $\rightarrow$ Lập bảng biến thiên.
• D. Tìm TXĐ $\rightarrow$ Vẽ đồ thị $\rightarrow$ Lập bảng biến thiên $\rightarrow$ Tìm cực trị.

Câu 2: Đồ thị hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$) luôn nhận điểm nào sau đây làm tâm đối xứng?

• A. Gốc tọa độ $O(0;0)$.
• B. Điểm cực đại của đồ thị.
• C. Điểm uốn (là điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $y” = 0$).
• D. Điểm cực tiểu của đồ thị.

Câu 3: Đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ ($c \neq 0, ad-bc \neq 0$) có tâm đối xứng là:

• A. Giao điểm của hai đường tiệm cận.
• B. Giao điểm của đồ thị với trục tung.
• C. Giao điểm của đồ thị với trục hoành.
• D. Không có tâm đối xứng.

Câu 4: Cho bảng biến thiên của một hàm số bậc ba. Khẳng định nào sau đây về hệ số $a$ là đúng?

(Giả sử bảng biến thiên có $y \to +\infty$ khi $x \to +\infty$)

• A. $a < 0$
• B. $a > 0$
• C. $a = 1$
• D. Không xác định được dấu của $a$.

Câu 5: Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x + 2$?

• A. $(1; 1)$
• B. $(0; 2)$
• C. $(2; 0)$
• D. $(-1; 2)$

Câu 6: Hình dạng của đồ thị hàm số $y = -x^3 + 3x$ là:

• A. Chữ N thuận.
• B. Chữ N ngược.
• C. Hình parabol.
• D. Một đường thẳng.

Câu 7: Dựa vào đồ thị hàm số $y = f(x)$ ở hình trên, hãy xác định số cực trị của hàm số.

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 0

Câu 8: Đồ thị hàm số $y = \frac{2x-1}{x+1}$ cắt trục tung tại điểm có tọa độ là:

• A. $(0; 2)$
• B. $(1/2; 0)$
• C. $(0; -1)$
• D. $(-1; 0)$

Câu 9: Cho hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như hình vẽ. Dấu của hệ số $a$ và $d$ lần lượt là:

• A. $a > 0, d > 0$
• B. $a < 0, d > 0$
• C. $a < 0, d < 0$
• D. $a > 0, d < 0$

Câu 10: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x-2}{x+1}$ là điểm:

• A. $I(1; -1)$
• B. $I(-1; 1)$
• C. $I(-1; -2)$
• D. $I(2; 1)$

Câu 11: Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^3 – 3x^2$ và đường thẳng $y = -4$ là:

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 0

Câu 12: Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

• A. $y = \frac{2x+1}{x-1}$
• B. $y = \frac{x+2}{x-1}$
• C. $y = \frac{2x-1}{x+1}$
• D. $y = \frac{x-2}{x+1}$

Câu 13: Tìm tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = x^3 – 3mx + 1$ đi qua điểm $A(1; 2)$.

• A. $m = 0$
• B. $m = 1$
• C. $m = -1$
• D. $m = 2$

Câu 14: Một chất điểm chuyển động có quãng đường được biểu diễn bởi hàm số $s(t) = t^3 – 3t^2 + 4$ (với $t \geq 0$). Tại thời điểm nào thì vận tốc của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất?

• A. $t = 0$
• B. $t = 1$
• C. $t = 2$
• D. $t = 3$

PHẦN II: TỰ LUẬN (3.0 ĐIỂM)

Bài 1 (2.0 điểm):

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:

$$y = x^3 – 3x^2 + 2$$

(Yêu cầu trình bày đầy đủ các bước: TXĐ, Đạo hàm, Cực trị, Bảng biến thiên, Các điểm đặc biệt và Vẽ đồ thị).

Bài 2 (1.0 điểm):

Tìm giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2x+1}{x-1}$ tại một điểm duy nhất có hoành độ dương.

THỜI GIAN: 45 phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (14 CÂU – 7.0 ĐIỂM)

Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ có $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$ và $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -3$. Khẳng định nào sau đây là đúng về đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số?

• A. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng $y=3$ và $y=-3$.
• B. Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đường thẳng $y=3$.
• C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.
• D. Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng $x=3$ và $x=-3$.

Câu 2: Đồ thị của hàm số $y = \frac{2x-1}{x+3}$ có phương trình đường tiệm cận đứng là:

• A. $y = 2$
• B. $x = -3$
• C. $x = 3$
• D. $y = -3$

Câu 3: Tìm phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1-3x}{x+2}$.

• A. $y = -3$
• B. $y = 1$
• C. $x = -2$
• D. $y = 3$

Câu 4: Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{1\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$. Khẳng định nào sau đây đúng?

• A. Đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
• B. Đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
• C. Hàm số không có cực trị.
• D. Đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ.

Câu 5: Quan sát hình vẽ dưới đây, tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là:

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

Câu 6: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x+1}{x^2-1}$ là:

• A. 3
• B. 1
• C. 2
• D. 0

Câu 7: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}$.

• A. 0
• B. 1
• C. 2
• D. 3

Câu 8: Đồ thị hàm số $y = \frac{x^2+x+1}{x-1}$ có đường tiệm cận xiên là:

• A. $y = x+2$
• B. $y = x+1$
• C. $y = x$
• D. $y = x-2$

Câu 9: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên với $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ và $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$. Đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 4

Câu 10: Tìm tất cả các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{4x^2+1}}{x+1}$.

• A. $y=2$
• B. $y=-2$
• C. $y=2$ và $y=-2$
• D. $x=-1$

Câu 11: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{5x^2-4x-1}{x^2-1}$ là:

• A. 0
• B. 1
• C. 2
• D. 3

Câu 12: Biết đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{2x^2+mx-1}{x-1}$ đi qua điểm $M(2;5)$. Giá trị của tham số $m$ là:

• A. $m=1$
• B. $m=-1$
• C. $m=2$
• D. $m=0$

Câu 13: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4}}$ là:

• A. 2
• B. 3
• C. 4
• D. 1

Câu 14: Cho hàm số $y = \frac{x+1}{mx^2+1}$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang.

• A. $m > 0$
• B. $m < 0$
• C. $m = 0$
• D. $m \geq 0$

PHẦN II: TỰ LUẬN (3.0 ĐIỂM)

Bài 1 (1.5 điểm):

Tìm tất cả các đường tiệm cận (đứng, ngang, xiên – nếu có) của đồ thị hàm số:

$$y = \frac{x^2 – 3x + 2}{x – 3}$$

Bài 2 (1.5 điểm):

Tìm tham số $m$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x+1}{x^2 – 2x + m}$ có đúng hai đường tiệm cận.

THỜI GIAN: 45 Phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (7,0 ĐIỂM)

Câu 1: Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-1; 3]$ và có bảng biến thiên: Tại $x = -1$ thì $y = 2$; tại $x = 0$ thì $y = 5$ (cực đại); tại $x = 2$ thì $y = 1$ (cực tiểu); tại $x = 3$ thì $y = 4$. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 3]$ là:

A. 2

B. 5

C. 1

D. 4

Câu 2: Hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 3$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$ tại điểm $x$ bằng:

A. $x = 0$

B. $x = 2$

C. $x = \pm 1$

D. $x = 3$

Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng $(0; +\infty)$:

A. 2

B. 4

C. 5

D. -4

Câu 4: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x-1)^2(x+2)$. Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn $[-2; 1]$ tại điểm:

A. $x = -2$

B. $x = 1$

C. $x = 0$

D. $x = -1$

Câu 5: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{2x+1}{x-1}$ trên đoạn $[2; 3]$ là:

A. 5

B. 2

C. 3,5

D. Không tồn tại

Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt{4-x^2}$:

A. 4

B. 0

C. 2

D. $\sqrt{2}$

Câu 7: Một sợi dây dài 20m được uốn thành một hình chữ nhật. Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó có thể đạt được là:

A. 20 $m^2$

B. 25 $m^2$

C. 100 $m^2$

D. 10 $m^2$

Câu 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{x^2+3}{x-1}$ trên đoạn $[2; 4]$:

A. $\min = 6$

B. $\min = -2$

C. $\min = 7$

D. $\min = \frac{19}{3}$

Câu 9: Gọi $M, m$ lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số $y = x + \sqrt{4-x^2}$. Tính tổng $M + m$:

A. $2\sqrt{2} – 2$

B. $2\sqrt{2} + 2$

C. 4

D. 2

Câu 10: Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên với cực đại là $(1; 4)$ và cực tiểu là $(3; -2)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có GTLN bằng 4 và GTNN bằng -2 trên $\mathbb{R}$

B. Hàm số có GTNN bằng -2 trên đoạn $[1; 4]$

C. Hàm số không có GTLN và GTNN trên $\mathbb{R}$

D. Hàm số đạt GTLN tại $x = 4$

Câu 11: Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x – \cos x$ là:

A. 1

B. 2

C. $\sqrt{2}$

D. 0

Câu 12: Cho hàm số $y = \frac{mx+1}{x-m}$. Tìm $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[2; 3]$ bằng $-2$:

A. $m = 1$

B. $m = -3$

C. $m = 5$

D. $m = 3$

Câu 13: Tìm tham số $m$ để giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^3 – 3x + m$ trên đoạn $[0; 2]$ bằng 5:

A. $m = 1$

B. $m = 3$

C. $m = 5$

D. $m = 7$

Câu 14: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y = f'(x)$ cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ $-1, 1, 2$. Biết $f(-1) > f(2)$. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1; 2]$ là:

A. $f(-1)$

B. $f(0)$

C. $f(1)$

D. $f(2)$

PHẦN II: TỰ LUẬN (3,0 ĐIỂM)

Câu 1 (1,5đ): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

$$y = x^3 – 3x^2 – 9x + 5$$

trên đoạn $[-2; 2]$.

Câu 2 (1,5đ): Một bác nông dân muốn rào quanh một khu vườn hình chữ nhật có một mặt giáp bờ sông (không cần rào mặt này). Bác có 40m lưới B40. Hãy tính kích thước khu vườn sao cho diện tích trồng trọt là lớn nhất?

THỜI GIAN: 45 Phút

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (7,0 ĐIỂM – 14 CÂU)

Câu 1 (Dễ): Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (1; 3)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; 3)$.

C. Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$.

D. Hàm số là hàm hằng trên khoảng $(1; 3)$.

Câu 2 (Dễ): Cho bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$ như sau:

($x$ chạy từ $-\infty$ đến $0$ rồi đến $+\infty$; $f'(x)$ mang dấu $-$ rồi sang dấu $+$).

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm:

A. $x = 0$

B. $x = -\infty$

C. $y = f(0)$

D. $x = +\infty$

Câu 3 (Trung bình): Hàm số $y = x^3 – 3x + 1$ nghịch biến trên khoảng nào?

A. $(-\infty; -1)$

B. $(1; +\infty)$

C. $(-1; 1)$

D. $(0; 2)$

Câu 4 (Trung bình): Số điểm cực trị của hàm số $y = x^4 – 2x^2 + 5$ là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Câu 5 (Khá): Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{x + m}{x – 1}$ luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

A. $m > -1$

B. $m < -1$

C. $m \ge -1$

D. $m \le -1$

Câu 6 (Thông hiểu): Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x-2)^2(x+3)$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 7 (Vận dụng thấp): Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – x^2 + mx + 5$ có hai điểm cực trị.

A. $m < 1$

B. $m > 1$

C. $m \le 1$

D. $m < 0$

Câu 8 (Thông hiểu): Cho hàm số $f(x)$ có đồ thị đạo hàm $f'(x)$ như hình vẽ bên dưới. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $(-1; 1)$

B. $(1; 4)$

C. $(-\infty; -1)$

D. $(4; +\infty)$

Câu 9 (Thông hiểu): Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên sau:

(Tại $x=2$, $f'(x)$ không xác định nhưng $f(x)$ vẫn liên tục và đổi chiều biến thiên từ tăng sang giảm).

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số không có cực trị tại $x = 2$.

B. Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$.

C. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$.

D. Hàm số không liên tục trên $\mathbb{R}$.

Câu 10 (Vận dụng): Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – mx^2 + (2m+3)x – 5$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

A. $-1 \le m \le 3$

B. $m < -1$ hoặc $m > 3$

C. $-1 < m < 3$

D. $m \le -1$ hoặc $m \ge 3$

Câu 11 (Vận dụng): Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = x^3 – 3x^2 – mx + 4$ có hai điểm cực trị?

A. Vô số.

B. $m > -3$.

C. $m < -3$.

D. $m = -3$.

Câu 12 (Vận dụng): Cho đồ thị hàm số $y = f(x)$ như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số $g(x) = f(x^2)$ là:

A. 1

B. 3

C. 5

D. 2

Câu 13 (Vận dụng cao): Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x-1)^2(x^2-2x)$. Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu 14 (Vận dụng cao): Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hàm số $y = \frac{mx – 4}{x – m}$ đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$.

A. $m \in (-2; 2)$

B. $m \in [0; 2)$

C. $m \in (-2; 0]$

D. $m \in (-2; 2]$

PHẦN II: TỰ LUẬN (3,0 ĐIỂM)

Câu 1 (1,5 điểm): Lập bảng biến thiên và tìm các điểm cực trị của hàm số:

$$y = -x^3 + 3x^2 – 4$$

Câu 2 (1,5 điểm): Xác định giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 – mx^2 + (m^2 – 4)x + 3$ đạt cực đại tại $x = 3$.