BÀI TẬP
3.1. Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $(2 \sin 30^\circ + \cos 135^\circ – 3 \tan 150^\circ) \cdot (\cos 180^\circ – \cot 60^\circ)$;
b) $\sin^2 90^\circ + \cos^2 120^\circ + \cos^2 0^\circ – \tan^2 60^\circ + \cot^2 135^\circ$;
c) $\cos 60^\circ \cdot \sin 30^\circ + \cos^2 30^\circ$.
Chú ý. $\sin^2 \alpha = (\sin \alpha)^2, \cos^2 \alpha = (\cos \alpha)^2, \tan^2 \alpha = (\tan \alpha)^2, \cot^2 \alpha = (\cot \alpha)^2$.
3.2. Đơn giản các biểu thức sau:
a) $\sin 100^\circ + \sin 80^\circ + \cos 16^\circ + \cos 164^\circ$;
b) $2 \sin (180^\circ – \alpha) \cdot \cot \alpha – \cos (180^\circ – \alpha) \cdot \tan \alpha \cdot \cot (180^\circ – \alpha)$, với $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.
3.3. Chứng minh các hệ thức sau:
a) $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$;
b) $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ ($\alpha \neq 90^\circ$);
c) $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$).
3.4. Cho góc $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$) thoả mãn $\tan \alpha = 3$.
Tính giá trị của biểu thức: $P = \frac{2 \sin \alpha – 3 \cos \alpha}{3 \sin \alpha + 2 \cos \alpha}$.
GIẢI
Bài 3.1: Tính giá trị biểu thức
a) $(2\sin 30^\circ + \cos 135^\circ – 3\tan 150^\circ) \cdot (\cos 180^\circ – \cot 60^\circ)$
- $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
- $\cos 135^\circ = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
- $\tan 150^\circ = -\tan 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
- $\cos 180^\circ = -1$; $\cot 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Thay vào: $A = (2 \cdot \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} – 3 \cdot \frac{-\sqrt{3}}{3}) \cdot (-1 – \frac{\sqrt{3}}{3}) = (1 – \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{3})(-1 – \frac{\sqrt{3}}{3})$
b) $\sin^2 90^\circ + \cos^2 120^\circ + \cos^2 0^\circ – \tan^2 60^\circ + \cot^2 135^\circ$
- $1^2 + (-\frac{1}{2})^2 + 1^2 – (\sqrt{3})^2 + (-1)^2 = 1 + \frac{1}{4} + 1 – 3 + 1 = \mathbf{\frac{1}{4}}$
c) $C = \cos 60^\circ \cdot \sin 30^\circ + \cos^2 30^\circ$
- Ta có: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$; $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$; $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
- Thay vào: $C = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2$
- $C = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \mathbf{1}$.
Bài 3.2: Đơn giản biểu thức
a) $A = \sin 100^\circ + \sin 80^\circ + \cos 16^\circ + \cos 164^\circ$
- Dùng góc bù: $\sin 100^\circ = \sin(180^\circ – 80^\circ) = \sin 80^\circ$
- $\cos 164^\circ = \cos(180^\circ – 16^\circ) = -\cos 16^\circ$
Kết quả: $A = \sin 80^\circ + \sin 80^\circ + \cos 16^\circ – \cos 164^\circ = \mathbf{2\sin 80^\circ}$
b) $B = 2\sin(180^\circ – \alpha) \cdot \cot \alpha – \cos(180^\circ – \alpha) \cdot \tan \alpha \cdot \cot(180^\circ – \alpha)$
- Áp dụng công thức góc bù:
- $\sin(180^\circ – \alpha) = \sin \alpha$
- $\cos(180^\circ – \alpha) = -\cos \alpha$
- $\cot(180^\circ – \alpha) = -\cot \alpha$
- Thay vào biểu thức:
- $B = 2\sin \alpha \cdot \cot \alpha – (-\cos \alpha) \cdot \tan \alpha \cdot (-\cot \alpha)$
- Nhớ rằng $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ và $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$:
- $B = 2\sin \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} – \cos \alpha \cdot (\tan \alpha \cdot \cot \alpha)$
- $B = 2\cos \alpha – \cos \alpha \cdot 1 = \mathbf{\cos \alpha}$.
Bài 3.3: Chứng minh các hệ thức
Đây là phần quan trọng nhất vì nó là nền tảng cho mọi bài toán lượng giác sau này!
a) Chứng minh $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
- Xét điểm $M(x; y)$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\angle xOM = \alpha$.
- Theo định nghĩa: $x = \cos \alpha$ và $y = \sin \alpha$.
- Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông tạo bởi điểm $M$, hình chiếu của $M$ và gốc tọa độ $O$: $x^2 + y^2 = R^2$.
- Vì đây là đường tròn đơn vị nên $R = 1$. Vậy $\mathbf{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1}$ (Đpcm).
b) Chứng minh $1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$
- Ta có: $1 + \tan^2 \alpha = 1 + \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$
- Quy đồng mẫu số: $\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$
- Từ câu (a), ta biết $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$.
- Vậy: $\mathbf{1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}}$ (Đpcm).
c) Chứng minh $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$
- Ta có: $1 + \cot^2 \alpha = 1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$
- Quy đồng mẫu số: $\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$
- Tương tự: $\mathbf{1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}}$ (Đpcm).
Bài 3.4: Tính giá trị $P$ khi biết $\tan \alpha = 3$
Để tính $P = \frac{2\sin \alpha – 3\cos \alpha}{3\sin \alpha + 2\cos \alpha}$, mẹo hay nhất là chia cả tử và mẫu cho $\cos \alpha$ (vì $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$):
$$P = \frac{2\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} – 3}{3\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + 2} = \frac{2\tan \alpha – 3}{3\tan \alpha + 2}$$
Thay $\tan \alpha = 3$ vào:
$$P = \frac{2(3) – 3}{3(3) + 2} = \frac{3}{11}$$