Bài 6. Hệ thức lượng trong tam giác

BÀI TẬP

3.5. Cho tam giác $ABC$ có $a = 6, b = 5, c = 8$. Tính $\cos A, S, r$.

3.6. Cho tam giác $ABC$ có $a = 10, \widehat{A} = 45^\circ, \widehat{B} = 70^\circ$. Tính $R, b, c$.

3.7. Giải tam giác $ABC$ và tính diện tích của tam giác đó, biết $\widehat{A} = 15^\circ, \widehat{B} = 130^\circ, c = 6$.

3.8. Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng $A$, đi theo hướng $S70^\circ E$ với vận tốc $70$ km/h. Đi được $90$ phút thì động cơ của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với vận tốc $8$ km/h. Sau $2$ giờ kể từ khi động cơ bị hỏng, tàu neo đậu được vào một hòn đảo.

a) Tính khoảng cách từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu.

b) Xác định hướng từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu.

3.9. Trên nóc một toà nhà có một cột ăng-ten cao $5$ m. Từ một vị trí quan sát $A$ cao $7$ m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh $B$ và chân $C$ của cột ăng-ten, với các góc tương ứng là $50^\circ$ và $40^\circ$ so với phương nằm ngang (H.3.18).

a) Tính các góc của tam giác $ABC$.

b) Tính chiều cao của toà nhà.

3.10. Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được).

3.11. Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ $A$ tới $D$. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

BÀI GIẢI

📝 Bài 3.5: Tam giác $a=6, b=5, c=8$

1. Tính $\cos A$:$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 8^2 – 6^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{25 + 64 – 36}{80} = \mathbf{\frac{53}{80}}$$
2. Tính diện tích $S$:
   • Nửa chu vi $p = \frac{6+5+8}{2} = 9.5$.
   • Công thức Heron: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{9.5(3.5)(4.5)(1.5)} \approx \mathbf{14.98}$ (đơn vị diện tích).
3. Tính bán kính $r$:
   • $S = p \cdot r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{14.98}{9.5} \approx \mathbf{1.58}$.

---

📐 Bài 3.6: Tam giác $a=10, \hat{A}=45^\circ, \hat{B}=70^\circ$

Bài này chúng ta dùng Định lý Sin: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.

1. Tính $R$: $2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{10}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 10\sqrt{2} \Rightarrow \mathbf{R = 5\sqrt{2}} \approx 7.07$.
2. Tính $b$: $b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{10 \cdot \sin 70^\circ}{\sin 45^\circ} \approx \mathbf{13.29}$.
3. Tính $c$:
   • Góc $\hat{C} = 180^\circ – (45^\circ + 70^\circ) = 65^\circ$.
   • $c = \frac{a \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{10 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 45^\circ} \approx \mathbf{12.82}$.

---

🔍 Bài 3.7: Giải tam giác $\hat{A}=15^\circ, \hat{B}=130^\circ, c=6$

“Giải tam giác” nghĩa là tìm tất cả các cạnh và góc còn lại.

1. Góc $\hat{C}$: $\hat{C} = 180^\circ – (15^\circ + 130^\circ) = \mathbf{35^\circ}$.
2. Cạnh $a$ và $b$ (Dùng định lý Sin):
   • $a = \frac{c \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{6 \cdot \sin 15^\circ}{\sin 35^\circ} \approx \mathbf{2.71}$.
   • $b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{6 \cdot \sin 130^\circ}{\sin 35^\circ} \approx \mathbf{8.01}$.
3. Diện tích $S$: $S = \frac{1}{2}ac \sin B = \frac{1}{2} \cdot 2.71 \cdot 6 \cdot \sin 130^\circ \approx \mathbf{6.23}$.

---

Bài 3.8. Bài toán con tàu

Gọi $A$ là vị trí cảng, $B$ là vị trí tàu khi hỏng động cơ và $C$ là vị trí hòn đảo nơi tàu neo đậu.

Tính quãng đường

• Giai đoạn 1 (AB):
  • Thời gian: $t_1 = 90$ phút = $1,5$ giờ.
  • Quãng đường $AB = v_1 \times t_1 = 70 \times 1,5 = 105$ (km).
• Giai đoạn 2 (BC):
  • Thời gian: $t_2 = 2$ giờ.
  • Quãng đường $BC = v_2 \times t_2 = 8 \times 2 = 16$ (km).

Xác định góc $\widehat{ABC}$

• Tàu đi từ $A$ theo hướng $S70^\circ E$. Nghĩa là góc tạo bởi $AB$ và tia Nam tại $A$ là $70^\circ$.
• Khi đến $B$, tàu trôi tự do theo hướng Nam (song song với tia Nam tại $A$).
• Theo tính chất so le trong (hoặc góc đồng vị), góc hợp bởi đoạn $AB$ và đoạn $BC$ (hướng Nam) chính là $180^\circ – 70^\circ = 110^\circ$. Vậy trong tam giác $ABC$, ta có $\widehat{B} = 110^\circ$.

a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo (Đoạn AC)

Áp dụng định lý Cosin cho tam giác $ABC$:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{B})$$

$$AC^2 = 105^2 + 16^2 – 2 \cdot 105 \cdot 16 \cdot \cos(110^\circ)$$

$$AC^2 \approx 11025 + 256 – (3360 \cdot (-0,342))$$

$$AC^2 \approx 11281 + 1149,12 = 12430,12$$

$$AC \approx \sqrt{12430,12} \approx 111,49 \text{ (km)}$$

b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo

Ta cần tìm góc $\widehat{A}$ (tức góc $\widehat{BAC}$) để xem hướng $AC$ lệch bao nhiêu độ so với hướng ban đầu.

Áp dụng định lý Sin:

$$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \Rightarrow \sin A = \frac{BC \cdot \sin B}{AC}$$

$$\sin A = \frac{16 \cdot \sin 110^\circ}{111,49} \approx \frac{16 \cdot 0,9397}{111,49} \approx 0,1348$$

$$\Rightarrow \widehat{A} \approx 7,75^\circ$$

• Xác định hướng: Ban đầu hướng $AB$ lệch so với hướng Nam $70^\circ$ về phía Đông. Vì tàu trôi thêm về hướng Nam, nên góc lệch của $AC$ so với hướng Nam sẽ nhỏ đi: $70^\circ – 7,75^\circ = 62,25^\circ$.
• Kết luận: Hướng từ $A$ đến $C$ là $S62,25^\circ E$.

🏢 Bài 3.9: Tính chiều cao tòa nhà và các góc

Dựa vào hình 3.18, ta có các dữ kiện:

• $BC = 5$ m (chiều cao cột ăng-ten).
• Tại điểm $A$, góc nhìn lên đỉnh $B$ là $50^\circ$, nhìn lên chân $C$ là $40^\circ$ so với phương ngang.

a) Tính các góc của tam giác $ABC$

Hãy nhìn vào tam giác $ABC$ trong hình:

1. Góc $\widehat{BAC}$: Đây là hiệu của hai góc nhìn.$$\widehat{BAC} = 50^\circ – 40^\circ = \mathbf{10^\circ}$$
2. Góc $\widehat{ABC}$: Gọi đường nằm ngang kẻ từ $A$ là $Ax$. Vì cột ăng-ten thẳng đứng nên nó vuông góc với $Ax$. Trong tam giác vuông tạo bởi đỉnh $B$, $A$ và đường thẳng đứng qua $BC$, ta có:$$\widehat{ABC} = 90^\circ – 50^\circ = \mathbf{40^\circ}$$
3. Góc $\widehat{ACB}$: Tổng ba góc trong tam giác là $180^\circ$.$$\widehat{ACB} = 180^\circ – (10^\circ + 40^\circ) = \mathbf{130^\circ}$$

b) Tính chiều cao của toà nhà

Để tính chiều cao tòa nhà, trước hết ta cần tìm độ dài cạnh $AC$ bằng Định lý Sin trong tam giác $ABC$:

$$\frac{BC}{\sin(\widehat{BAC})} = \frac{AC}{\sin(\widehat{ABC})} \Rightarrow AC = \frac{5 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 10^\circ} \approx 18.5 \text{ m}$$

Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ lên phương nằm ngang đi qua $A$. Trong tam giác vuông $AHC$:

• Cạnh đối $CH = AC \cdot \sin 40^\circ \approx 18.5 \cdot \sin 40^\circ \approx 11.89$ m.
• Chiều cao tòa nhà = $CH +$ (chiều cao điểm quan sát $A$ so với đất)
• Chiều cao tòa nhà $\approx 11.89 + 7 = \mathbf{18.89}$ m.

---

🏝️ Bài 3.10: Đề xuất cách xác định bề rộng hòn đảo

Đây là một bài toán thực tế yêu cầu khả năng tư duy mô hình hóa. Để đo bề rộng hòn đảo (đoạn $PQ$) từ bờ biển, mình đề xuất phương pháp sau:

Cách làm:

1. Chọn hai điểm mốc $A, B$ trên bãi biển cách nhau một khoảng $d$ đo được (ví dụ $d = 100$ m).
2. Đo các góc nhìn:
   • Tại $A$, dùng dụng cụ đo góc để xác định góc $\alpha_1$ nhìn về phía đầu đảo $P$ và $\alpha_2$ nhìn về phía đầu đảo $Q$ (so với đường thẳng $AB$).
   • Tại $B$, làm tương tự để đo góc $\beta_1$ nhìn về $P$ và $\beta_2$ nhìn về $Q$.
3. Tính toán:
   • Sử dụng Định lý Sin trong tam giác $ABP$ để tính độ dài $AP$.
   • Sử dụng Định lý Sin trong tam giác $ABQ$ để tính độ dài $AQ$.
   • Cuối cùng, xét tam giác $APQ$, ta đã biết $AP, AQ$ và góc $\widehat{PAQ} = |\alpha_1 – \alpha_2|$. Áp dụng Định lý Cosin để tính bề rộng $PQ$:$$PQ = \sqrt{AP^2 + AQ^2 – 2 \cdot AP \cdot AQ \cdot \cos(\widehat{PAQ})}$$

⛰️ Bài 3.11: Tính độ dài đường hầm xuyên núi

Để tính được đoạn $AD$, chúng ta sẽ chia hình thang/tứ giác $ABCD$ thành các tam giác nhỏ để áp dụng định lý Cosin.

Bước 1: Tính độ dài đường cũ

Đường cũ đi qua các đoạn $DC, CB, BA$:

• $L_{\text{cũ}} = DC + CB + BA = 12 + 6 + 8 = \mathbf{26 \text{ km}}$.

Bước 2: Tính độ dài đường mới $AD$

Chúng ta sẽ nối $A$ với $C$ để tạo thành tam giác $ABC$.

1. Xét tam giác $ABC$:
   • Đã biết $AB = 8, BC = 6$ và góc $\widehat{B} = 105^\circ$.
   • Áp dụng định lý Cosin để tính $AC$:$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$$$AC^2 = 8^2 + 6^2 – 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 105^\circ$$$$AC^2 = 64 + 36 – 96 \cdot (-0.2588) \approx 100 + 24.84 = 124.84$$$$\Rightarrow AC \approx \mathbf{11.17 \text{ km}}$$
2. Tính góc $\widehat{ACB}$ để tìm góc $\widehat{ACD}$:
   • Dùng định lý Sin trong tam giác $ABC$: $\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}} = \frac{AC}{\sin B}$
   • $\sin \widehat{ACB} = \frac{8 \cdot \sin 105^\circ}{11.17} \approx 0.6918 \Rightarrow \widehat{ACB} \approx 43.77^\circ$.
   • Góc còn lại: $\widehat{ACD} = \widehat{BCD} – \widehat{ACB} = 135^\circ – 43.77^\circ = \mathbf{91.23^\circ}$.
3. Xét tam giác $ACD$:
   • Đã biết $AC \approx 11.17, CD = 12$ và góc $\widehat{ACD} \approx 91.23^\circ$.
   • Áp dụng định lý Cosin để tính $AD$:$$AD^2 = AC^2 + CD^2 – 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos \widehat{ACD}$$$$AD^2 \approx 124.84 + 144 – 2 \cdot 11.17 \cdot 12 \cdot \cos 91.23^\circ$$$$AD^2 \approx 268.84 – 268.08 \cdot (-0.0215) \approx 268.84 + 5.76 = 274.6$$$$\Rightarrow AD \approx \mathbf{16.57 \text{ km}}$$

Bước 3: Tính số kilômét giảm được

• Độ dài giảm đi = $L_{\text{cũ}} – AD \approx 26 – 16.57 = \mathbf{9.43 \text{ km}}$.