BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV
A – TRẮC NGHIỆM
4.27. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây có cùng phương?
A. $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = \left(\frac{1}{2}; 6\right)$.
B. $\vec{a} = (\sqrt{2}; 6)$ và $\vec{b} = (1; 3\sqrt{2})$.
C. $\vec{i} = (0; 1)$ và $\vec{j} = (1; 0)$.
D. $\vec{c} = (1; 3)$ và $\vec{d} = (2; -6)$.
4.28. Trong mặt phẳng tọa độ, cặp vectơ nào sau đây vuông góc với nhau?
A. $\vec{u} = (2; 3)$ và $\vec{v} = (4; 6)$.
B. $\vec{a} = (1; -1)$ và $\vec{b} = (-1; 1)$.
C. $\vec{z} = (a; b)$ và $\vec{t} = (-b; a)$.
D. $\vec{n} = (1; 1)$ và $\vec{k} = (2; 0)$.
4.29. Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ nào sau đây có độ dài bằng 1?
A. $\vec{a} = (1; 1)$.
B. $\vec{b} = (1; -1)$.
C. $\vec{c} = \left(2; \frac{1}{2}\right)$.
D. $\vec{d} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{-1}{\sqrt{2}}\right)$.
4.30. Góc giữa vectơ $\vec{a} = (1; -1)$ và vectơ $\vec{b} = (-2; 0)$ có số đo bằng:
A. $90^\circ$.
B. $0^\circ$.
C. $135^\circ$.
D. $45^\circ$.
4.31. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \vec{a}(\vec{b} \cdot \vec{c})$.
B. $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = \vec{a}^2 \cdot \vec{b}^2$.
C. $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \sin(\vec{a}, \vec{b})$.
D. $\vec{a} \cdot (\vec{b} – \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} – \vec{a} \cdot \vec{c}$.
4.32. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh $a$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $(\vec{AB}, \vec{BD}) = 45^\circ$.
B. $(\vec{AC}, \vec{BC}) = 45^\circ$ và $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = a^2$.
C. $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = a^2 \sqrt{2}$.
D. $\vec{BA} \cdot \vec{BD} = -a^2$.
B – TỰ LUẬN
4.33. Trên cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ lấy điểm $M$ sao cho $MB = 3MC$.
a) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ $\vec{MB}$ và $\vec{MC}$.
b) Biểu thị vectơ $\vec{AM}$ theo hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.
4.34. Cho hình bình hành $ABCD$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$, ta có:
$\vec{MA} + \vec{MC} = \vec{MB} + \vec{MD}$.
4.35. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A(2; 1), B(-2; 5)$ và $C(-5; 2)$.
a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{BA}$ và $\vec{BC}$.
b) Chứng minh rằng $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác vuông. Tính diện tích và chu vi của tam giác đó.
c) Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
d) Tìm tọa độ của điểm $D$ sao cho tứ giác $BCAD$ là một hình bình hành.
4.36. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho $A(1; 2), B(3; 4), C(-1; -2)$ và $D(6; 5)$.
a) Tìm tọa độ của các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$.
b) Hãy giải thích tại sao các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{CD}$ cùng phương.
c) Giả sử $E$ là điểm có tọa độ $(a; 1)$. Tìm $a$ để các vectơ $\vec{AC}$ và $\vec{BE}$ cùng phương.
d) Với $a$ tìm được, hãy biểu thị vectơ $\vec{AE}$ theo các vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$.
4.37. Cho vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$. Chứng minh rằng $\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a}$ (hay còn được viết là $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\vec{a}$.
4.38. Cho ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u}$ với $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ và $\vec{a} \perp \vec{b}$. Xét một hệ trục $Oxy$ với các vectơ đơn vị $\vec{i} = \vec{a}, \vec{j} = \vec{b}$. Chứng minh rằng:
a) Vectơ $\vec{u}$ có tọa độ là $(\vec{u} \cdot \vec{a}; \vec{u} \cdot \vec{b})$.
b) $\vec{u} = (\vec{u} \cdot \vec{a})\vec{a} + (\vec{u} \cdot \vec{b})\vec{b}$.
4.39. Trên sông, một ca nô chuyển động thẳng đều theo hướng $S15^\circ E$ với vận tốc có độ lớn bằng $20\text{ km/h}$. Tính vận tốc riêng của ca nô, biết rằng, nước trên sông chảy về hướng đông với vận tốc có độ lớn bằng $3\text{ km/h}$.