BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG III
A – TRẮC NGHIỆM
3.12. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 135^\circ$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a) A. $S = \frac{1}{2}ca$. B. $S = \frac{-\sqrt{2}}{4}ac$. C. $S = \frac{\sqrt{2}}{4}bc$. D. $S = \frac{\sqrt{2}}{4}ca$.
b) A. $R = \frac{a}{\sin A}$. B. $R = \frac{\sqrt{2}}{2}b$. C. $R = \frac{\sqrt{2}}{2}c$. D. $R = \frac{\sqrt{2}}{2}a$.
c) A. $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}ab$. B. $\frac{b}{\sin A} = \frac{a}{\sin B}$. C. $\sin B = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. D. $b^2 = c^2 + a^2 – 2ca \cos 135^\circ$.
3.13. Cho tam giác $ABC$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a) A. $S = \frac{abc}{4R}$. B. $r = \frac{2S}{a + b + c}$. C. $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos A$. D. $S = r(a + b + c)$.
b) A. $\sin A = \sin(B + C)$. B. $\cos A = \cos(B + C)$. C. $\cos A > 0$. D. $\sin A \le 0$.
B – TỰ LUẬN
3.14. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) $M = \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ + \sin 30^\circ$;
b) $N = \sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ + \frac{1}{2} \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ$;
c) $P = 1 + \tan^2 60^\circ$;
d) $Q = \frac{1}{\sin^2 120^\circ} – \cot^2 120^\circ$.
3.15. Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{B} = 60^\circ, \widehat{C} = 45^\circ, AC = 10$. Tính $a, R, S, r$.
3.16. Cho tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$. Chứng minh rằng:
a) $\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0$;
b) $MA^2 + MB^2 – AB^2 = 2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}$ và $MA^2 + MC^2 – AC^2 = 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$;
c) $MA^2 = \frac{2(AB^2 + AC^2) – BC^2}{4}$ (công thức đường trung tuyến).
3.17. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:
a) Nếu góc $A$ nhọn thì $b^2 + c^2 > a^2$;
b) Nếu góc $A$ tù thì $b^2 + c^2 < a^2$;
c) Nếu góc $A$ vuông thì $b^2 + c^2 = a^2$.
3.18. Trên biển, tàu $B$ ở vị trí cách tàu $A$ 53 km về hướng N34°E. Sau đó, tàu $B$ chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 30 km/h về hướng đông và tàu $A$ chuyển động thẳng đều với vận tốc có độ lớn 50 km/h để đuổi kịp tàu $B$.
a) Hỏi tàu $A$ cần phải chuyển động theo hướng nào?
b) Với hướng chuyển động đó thì sau bao lâu tàu $A$ đuổi kịp tàu $B$?
3.19. Trên sân bóng chày dành cho nam, các vị trí gôn Nhà (Home plate), gôn 1 (First base), gôn 2 (Second base), gôn 3 (Third base) là bốn đỉnh của một hình vuông có cạnh dài 27,4 m. Vị trí đứng ném bóng (Pitcher’s mound) nằm trên đường nối gôn Nhà với gôn 2, và cách gôn Nhà 18,44 m. Tính các khoảng cách từ vị trí đứng ném bóng tới các gôn 1 và gôn 3.
