A – TRẮC NGHIỆM
1. Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\begin{cases} x + y > 2 \\ x – y \le 1 \end{cases}$. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho?
A. (1; 1).
B. (2; 0).
C. (3; 2).
D. (3; -2).
2. Cho tam giác $ABC$. Có bao nhiêu điểm $M$ thoả mãn $|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}| = 3$?
A. Vô số.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
3. Biết rằng parabol $y = x^2 + bx + c$ có đỉnh là $I(1; 4)$. Khi đó giá trị của $b + c$ là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
4. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường thẳng $\Delta: x + 2y – 5 = 0$. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Vectơ $\vec{n} = (1; 2)$ là một vectơ pháp tuyến của $\Delta$.
B. Vectơ $\vec{u} = (2; -1)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$.
C. Đường thẳng $\Delta$ song song với đường thẳng $d: \begin{cases} x = 1 – 2t \\ y = 1 + t \end{cases}$.
D. Đường thẳng $\Delta$ có hệ số góc $k = 2$.
5. Trong khai triển nhị thức Newton của $(2 + 3x)^4$, hệ số của $x^2$ là
A. 9
B. $C_4^2$.
C. $9C_4^2$.
D. $36C_4^2$.
6. Một tổ gồm 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Xác suất để trong hai người được chọn có ít nhất một nữ là
A. $\frac{7}{15}$.
B. $\frac{8}{15}$.
C. $\frac{1}{15}$.
D. $\frac{2}{15}$.
B – TỰ LUẬN
7. Cho các mệnh đề:
$P$: “Tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$”;
$Q$: “Tam giác $ABC$ có các cạnh thoả mãn $AB^2 + AC^2 = BC^2$”.
a) Hãy phát biểu các mệnh đề: $P \Rightarrow Q, Q \Rightarrow P, P \Leftrightarrow Q, \bar{P} \Rightarrow \bar{Q}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.
b) Dùng các khái niệm “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để diễn tả mệnh đề $P \Rightarrow Q$.
c) Gọi $X$ là tập hợp các tam giác $ABC$ vuông tại $A, Y$ là tập hợp các tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM = \frac{1}{2}BC$. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp $X$ và $Y$.
8. a) Biểu diễn miền nghiệm $D$ của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
$\begin{cases} x + y \le 6 \\ 2x – y \le 2 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0. \end{cases}$
b) Từ kết quả câu a, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F(x, y) = 2x + 3y$ trên miền $D$.
9. Cho hàm số $y = f(x) = ax^2 + bx + c$ với đồ thị là parabol $(P)$ có đỉnh $I\left(\frac{5}{2}; -\frac{1}{4}\right)$ và đi qua điểm $A(1; 2)$.
a) Biết rằng phương trình của parabol có thể viết dưới dạng $y = a(x – h)^2 + k$, trong đó $I(h; k)$ là toạ độ đỉnh của parabol. Hãy xác định phương trình của parabol $(P)$ đã cho và vẽ parabol này.
b) Từ parabol $(P)$ đã vẽ ở câu a, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của hàm số $y = f(x)$.
c) Giải bất phương trình $f(x) \ge 0$.
10. Giải các phương trình chứa căn thức sau:
a) $\sqrt{2x^2 – 6x + 3} = \sqrt{x^2 – 3x + 1}$;
b) $\sqrt{x^2 + 18x – 9} = 2x – 3$.
11. Từ các chữ số 0; 1; 2; …; 9, có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 1 000, chia hết cho 5 và gồm các chữ số khác nhau?
12. Viết khai triển nhị thức Newton của $(2x – 1)^n$, biết $n$ là số tự nhiên thoả mãn $A_n^2 + 24C_n^1 = 140$.
13. Từ các công thức tính diện tích tam giác đã được học, hãy chứng minh rằng, trong tam giác $ABC$, ta có
$$r = \frac{\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}{2\sqrt{a+b+c}}$$
14. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M, N$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $AB, BC$.
a) Biểu thị các vectơ $\vec{DM}, \vec{AN}$ theo các vectơ $\vec{AB}, \vec{AD}$.
b) Tính $\vec{DM} \cdot \vec{AN}$ và tìm góc giữa hai đường thẳng $DM$ và $AN$.
15. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $ABC$ có ba đỉnh $A(-1; 3), B(1; 2), C(4; -2)$.
a) Viết phương trình đường thẳng $BC$.
b) Tính diện tích tam giác $ABC$.
c) Viết phương trình đường tròn có tâm $A$ và tiếp xúc với đường thẳng $BC$.
16. Trong mặt phẳng toạ độ, hai vật thể khởi hành cùng lúc tại hai địa điểm $A(1; 1)$ và $B(-1; 21)$ với các vectơ vận tốc tương ứng là $\vec{v_A} = (1; 2), \vec{v_B} = (1; -4)$. Hỏi hai vật thể đó có gặp nhau hay không?
17. Trong đêm, một âm thanh cầu cứu phát ra từ một vị trí trong rừng và đã được hai trạm ghi tín hiệu ở các vị trí $A, B$ nhận được. Khoảng cách giữa hai trạm là 16 km và trạm ở vị trí $A$ nhận được tín hiệu sớm hơn 6 giây so với trạm ở vị trí $B$. Giả sử vận tốc âm thanh là 1 236 km/h. Hãy xác định phạm vi tìm kiếm vị trí phát ra âm thanh đó.
18. Các nhà toán học cổ đại Trung Quốc đã dùng phân số $\frac{22}{7}$ để xấp xỉ cho $\pi$.
a) Cho biết đâu là số đúng, đâu là số gần đúng.
b) Đánh giá sai số tuyệt đối, sai số tương đối của giá trị gần đúng này, biết $3,1415 < \pi < 3,1416$.
19. Tỉ lệ hộ nghèo (%) của 10 tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong năm 2010 và năm 2016 được cho trong bảng sau:
| Tỉnh/ thành phố | Năm 2010 | Năm 2016 |
| Hà Nội | 5,3 | 1,3 |
| Vĩnh Phúc | 10,4 | 2,9 |
| Bắc Ninh | 7,0 | 1,6 |
| Hải Dương | 10,8 | 2,3 |
| Hải Phòng | 6,5 | 2,1 |
| Hưng Yên | 11,1 | 2,6 |
| Thái Bình | 10,7 | 3,7 |
| Hà Nam | 12,0 | 4,4 |
| Nam Định | 10,0 | 3,0 |
| Ninh Bình | 12,2 | 4,3 |
(Theo Tổng cục Thống kê)
a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010, 2016.
b) Dựa trên kết quả nhận được, em có nhận xét gì về số trung bình và độ phân tán của tỉ lệ hộ nghèo các tỉnh/thành phố thuộc đồng bằng sông Hồng trong các năm 2010 và 2016.
20. Chọn ngẫu nhiên ba số khác nhau từ 23 số nguyên dương đầu tiên. Tìm xác suất để tổng ba số chọn được là một số chẵn.