Danh mục: Chuyên đề

DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Thời gian làm bài: 90 phút

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7.0 điểm – Mỗi câu 0.35 điểm)

Câu 1 (Bài 5): Cho dãy số $(u_n)$ có số hạng tổng quát $u_n = 2n + 1$. Ba số hạng đầu tiên của dãy là:

A. $1, 3, 5$

B. $3, 5, 7$

C. $2, 4, 6$

D. $3, 6, 9$

Câu 2 (Bài 6): Một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1 = -3$ và công sai $d = 2$. Số hạng thứ 5 của cấp số cộng đó là:

A. $7$

B. $5$

C. $10$

D. $1$

Câu 3 (Bài 7): Cho cấp số nhân $(v_n)$ có $v_1 = 3$ và công bội $q = -2$. Số hạng tổng quát $v_n$ là:

A. $v_n = 3 \cdot (-2)^n$

B. $v_n = 3 \cdot (-2)^{n-1}$

C. $v_n = -2 \cdot 3^{n-1}$

D. $v_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

Câu 4 (Bài 6): Tổng $S_n$ của $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng được tính theo công thức nào?

A. $S_n = \frac{n}{2}[2u_1 + (n-1)d]$

B. $S_n = \frac{n}{2}[u_1 + d]$

C. $S_n = n[2u_1 + (n-1)d]$

D. $S_n = \frac{n}{2}[u_1 + u_n]$

Câu 5 (Bài 7): Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 2, u_2 = 6$. Công bội $q$ của cấp số nhân này bằng:

A. $4$

B. $3$

C. $12$

D. $1/3$

Câu 6 (Bài 5): Dãy số nào sau đây là dãy số bị chặn?

A. $u_n = n^2$

B. $u_n = 2^n$

C. $u_n = \sin(n)$

D. $u_n = n + \frac{1}{n}$

Câu 7 (Bài 6): Cho cấp số cộng có $u_2 = 5$ và $u_3 = 8$. Công sai $d$ bằng:

A. $3$

B. $-3$

C. $13$

D. $3/2$

Câu 8 (Bài 7): Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân với $q \neq 1$ là:

A. $S_n = \frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

B. $S_n = u_1 \cdot q^{n-1}$

C. $S_n = \frac{u_1(1-q)}{1-q^n}$

D. $S_n = \frac{n(u_1+u_n)}{2}$

Câu 9 (Bài 5): Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?

A. $u_n = 2n + 5$

B. $u_n = n^2 – 1$

C. $u_n = \frac{1}{n+2}$

D. $u_n = (-2)^n$

Câu 10 (Bài 6): Cho cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = -5$ và $d = 3$. Số $100$ là số hạng thứ mấy của cấp số cộng này?

A. Thứ 34

B. Thứ 35

C. Thứ 36

D. Không thuộc dãy số này.

Câu 11 (Bài 7): Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 3, q = \frac{1}{2}$. Tính tổng 5 số hạng đầu tiên $S_5$.

A. $\frac{93}{16}$

B. $\frac{31}{16}$

C. $\frac{93}{32}$

D. $\frac{31}{32}$

Câu 12 (Bài 6): Ba số $x, 5, 2x+1$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Giá trị của $x$ là:

A. $x = 4$

B. $x = 3$

C. $x = 2$

D. $x = 5$

Câu 13 (Bài 7): Cho cấp số nhân có $u_1 = -2$ và $u_2 = 8$. Công bội $q$ bằng:

A. $4$

B. $-4$

C. $10$

D. $-6$

Câu 14 (Bài 5): Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1 = 2; u_{n+1} = u_n + 3n$. Số hạng $u_3$ bằng:

A. 5

B. 8

C. 11

D. 14

Câu 15 (Bài 6): Giữa hai số 3 và 19, ta xen thêm 3 số nữa để được một cấp số cộng có 5 số hạng. Công sai $d$ của cấp số đó là:

A. 4

B. 5

C. 3

D. 6

Câu 16 (Bài 7): Ba số $a, b, c$ lập thành một cấp số nhân. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $b = \frac{a+c}{2}$

B. $b^2 = ac$

C. $b = ac$

D. $b^2 = a+c$

Câu 17 (Bài 5): Xét tính bị chặn của dãy số $u_n = \frac{2n-1}{n+1}$. Khẳng định nào đúng?

A. Dãy số bị chặn dưới bởi 0 và chặn trên bởi 2.

B. Dãy số chỉ bị chặn trên bởi 2.

C. Dãy số chỉ bị chặn dưới bởi $1/2$.

D. Dãy số bị chặn dưới bởi $1/2$ và chặn trên bởi 2.

Câu 18 (Bài 6): Một rạp hát có 20 hàng ghế. Hàng đầu tiên có 15 ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 2 ghế. Tổng số ghế của rạp hát là:

A. 680 ghế

B. 700 ghế

C. 710 ghế

D. 800 ghế

Câu 19 (Bài 7): Tìm tất cả giá trị của $x$ để ba số $x-1; x; x+2$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

A. $x = 2$

B. $x = -2$

C. $x = 1$

D. $x = -1$

Câu 20 (Bài 7 – Nâng cao): Cho cấp số nhân có $u_1 = 1, q = 2$. Hỏi phải cộng bao nhiêu số hạng đầu tiên để được tổng bằng $1023$?

A. 8 số hạng

B. 9 số hạng

C. 10 số hạng

D. 11 số hạng

PHẦN II. TỰ LUẬN (3.0 điểm)

Bài 1 (1.0 điểm):

Cho cấp số cộng $(u_n)$ thỏa mãn hệ phương trình:

$$\begin{cases} u_1 + u_5 = 20 \\ u_3 + u_6 = 25 \end{cases}$$

a) Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$.

b) Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên của dãy số đó.

Bài 2 (1.0 điểm):

Cho cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 3$ và $u_2 = 6$.

a) Tìm công bội $q$ và số hạng thứ 10.

b) Số $1536$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

Bài 3 (1.0 điểm – Vận dụng cao/Thực tế):

Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền 100 triệu đồng với lãi suất $0.6\%$/tháng theo hình thức lãi kép (tiền lãi của tháng này được cộng vào vốn để tính lãi cho tháng sau).

a) Thiết lập công thức số tiền người đó nhận được sau $n$ tháng (giả sử không rút tiền).

b) Sau ít nhất bao nhiêu tháng thì người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi nhiều hơn 120 triệu đồng?

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Thời gian: 90 phút

PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7.0 điểm – Mỗi câu 0.35 điểm)

Câu 1 (Bài 1): Đổi số đo của góc $\alpha = 150^\circ$ sang đơn vị radian.

A. $\frac{4\pi}{5}$

B. $\frac{5\pi}{6}$

C. $\frac{2\pi}{3}$

D. $\frac{\pi}{6}$

Câu 2 (Bài 1): Trên đường tròn lượng giác, điểm biểu diễn cung có số đo $\frac{\pi}{2}$ nằm ở đâu?

A. Trục hoành bên phải.

B. Trục hoành bên trái.

C. Trục tung phía trên.

D. Trục tung phía dưới.

Câu 3 (Bài 2): Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$

B. $\cos(a+b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

C. $\sin 2a = 2\sin a$

D. $\cos 2a = \cos^2 a + \sin^2 a$

Câu 4 (Bài 3): Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là:

A. $\mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$

B. $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$

C. $\mathbb{R}$

D. $[-1; 1]$

Câu 5 (Bài 3): Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?

A. $y = \sin x$

B. $y = \cos x$

C. $y = \tan x$

D. $y = \cot x$

Câu 6 (Bài 4): Nghiệm của phương trình $\sin x = 1$ là:

A. $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$

B. $x = k\pi$

C. $x = \pi + k2\pi$

D. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$

Câu 7 (Bài 1): Cho góc lượng giác $(Ou, Ov)$ có số đo là $\frac{\pi}{4}$. Số đo tổng quát của các góc lượng giác $(Ou, Ov)$ là:

A. $\frac{\pi}{4} + k\pi$

B. $\frac{\pi}{4} + k2\pi$

C. $-\frac{\pi}{4} + k2\pi$

D. $\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}$

Câu 8 (Bài 2): Rút gọn biểu thức $A = \sin(x + \frac{\pi}{3}) – \sin(x – \frac{\pi}{3})$.

A. $A = \cos x$

B. $A = \sqrt{3} \sin x$

C. $A = \sqrt{3} \cos x$

D. $A = 2 \cos x$

Câu 9 (Bài 2): Tính giá trị của $P = \cos 75^\circ \cdot \cos 15^\circ$.

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

D. $1$

Câu 10 (Bài 3): Tìm giá trị lớn nhất ($M$) và giá trị nhỏ nhất ($m$) của hàm số $y = 3\sin 2x – 5$.

A. $M = -2, m = -8$

B. $M = 3, m = -3$

C. $M = -2, m = -5$

D. $M = 8, m = 2$

Câu 11 (Bài 3): Chu kỳ tuần hoàn của hàm số $y = \cot 2x$ là:

A. $T = \pi$

B. $T = 2\pi$

C. $T = \frac{\pi}{2}$

D. $T = \frac{\pi}{4}$

Câu 12 (Bài 4): Phương trình $\cos x = \cos \frac{\pi}{3}$ có nghiệm là:

A. $x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi$

B. $x = \frac{\pi}{3} + k2\pi$

C. $x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi$

D. $x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi$

Câu 13 (Bài 4): Số nghiệm của phương trình $\sin x = 0$ trên đoạn $[0; 2\pi]$ là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 14 (Bài 2): Biết $\tan a = 2$. Tính giá trị của $\tan 2a$.

A. $-\frac{4}{3}$

B. $\frac{4}{3}$

C. $-\frac{3}{4}$

D. $4$

Câu 15 (Bài 3): Đồ thị hàm số $y = \sin x$ đi qua điểm nào sau đây?

A. $(0; 1)$

B. $(\pi; 0)$

C. $(\frac{\pi}{2}; 0)$

D. $(\pi; -1)$

Câu 16 (Bài 4): Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A. $\sin x = -0,5$

B. $\cos x = \frac{2}{3}$

C. $\tan x = 100$

D. $\cos x = -1,2$

Câu 17 (Bài 1): Một đường tròn có bán kính $R = 10 \text{ cm}$. Độ dài cung tròn có số đo $\frac{\pi}{5}$ là:

A. $2\pi \text{ cm}$

B. $5\pi \text{ cm}$

C. $\pi \text{ cm}$

D. $20 \text{ cm}$

Câu 18 (Bài 2): Biến đổi tích thành tổng: $\cos 5x \cos 3x$ bằng:

A. $\frac{1}{2}(\cos 8x + \cos 2x)$

B. $\frac{1}{2}(\cos 8x – \cos 2x)$

C. $\cos 8x + \cos 2x$

D. $\sin 8x + \sin 2x$

Câu 19 (Bài 3): Hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $(0; \pi)$

B. $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$

C. $(-\pi; 0)$

D. $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$

Câu 20 (Bài 4): Nghiệm của phương trình $\cot x = \sqrt{3}$ là:

A. $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$

B. $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$

C. $x = \frac{\pi}{6} + k2\pi$

D. $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$

PHẦN II. TỰ LUẬN (3.0 điểm)

Bài 1 (1.0 điểm): Cho $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$ với $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Tính giá trị của $\sin \alpha$ và $\tan \alpha$.

Bài 2 (1.0 điểm): Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\sqrt{3}\tan(x – \frac{\pi}{6}) = 1$

b) $\cos 2x – 3\cos x + 2 = 0$

Bài 3 (1.0 điểm – Nâng cao): Một chiếc đu quay có bán kính $10m$. Tâm của vòng quay ở độ cao $12m$ so với mặt đất. Đu quay quay đều với tốc độ $1$ vòng/phút. Thiết lập hàm số tính độ cao $h$ của một cabin theo thời gian $t$ (giây) và tìm thời điểm đầu tiên cabin đạt độ cao $17m$.