📌 TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Chương này tập trung vào việc hiểu mối quan hệ giữa hai đại lượng $x$ và $y$, đặc biệt là sự chuyển tiếp từ hàm số bậc nhất lên hàm số bậc hai.
1. Hàm số (Bài 15)
- Khái niệm: Một quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị $x$ thuộc tập $D$ với duy nhất một giá trị $y$.
- Tập xác định ($D$): Tập hợp các giá trị $x$ làm cho hàm số có nghĩa.
- Sự biến thiên:
- Đồng biến: $x$ tăng thì $y$ tăng (đồ thị đi lên).
- Nghịch biến: $x$ tăng thì $y$ giảm (đồ thị đi xuống).
2. Hàm số bậc hai (Bài 16)
- Dạng tổng quát: $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$).
- Đồ thị: Là một đường cong Parabol.
- Nếu $a > 0$: Bề lõm quay lên trên (hình chữ U).
- Nếu $a < 0$: Bề lõm quay xuống dưới (hình chữ U úp).
- Đỉnh $I$: Có tọa độ $I\left(-\frac{b}{2a}; -\frac{\Delta}{4a}\right)$. Đây là điểm “thấp nhất” hoặc “cao nhất” của đồ thị.
- Trục đối xứng: Đường thẳng $x = -\frac{b}{2a}$.
3. Dấu của tam thức bậc hai (Bài 17)
Đây là phần giúp bạn biết khi nào biểu thức $ax^2 + bx + c$ mang dấu dương hay âm. Quy tắc cốt lõi dựa vào $\Delta$ và hệ số $a$.
- Nếu $\Delta < 0$: Tam thức luôn cùng dấu với $a$ với mọi $x$.
- Nếu $\Delta = 0$: Tam thức cùng dấu với $a$ với mọi $x \neq -\frac{b}{2a}$.
- Nếu $\Delta > 0$: Tam thức có 2 nghiệm $x_1, x_2$. Áp dụng quy tắc: “Trong trái – Ngoài cùng” (Trong khoảng 2 nghiệm trái dấu với $a$, ngoài khoảng cùng dấu với $a$).
4. Phương trình quy về phương trình bậc hai (Bài 18)
Tập trung vào các phương trình chứa căn bậc hai. Cách giải chủ đạo là bình phương hai vế để khử căn, nhưng đừng quên bước cực kỳ quan trọng: Thử lại nghiệm hoặc đặt điều kiện.
🛠 CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHƯƠNG VI
Dạng 1: Tìm tập xác định (TXĐ) của hàm số
Đây là bước “khám sức khỏe” đầu tiên cho mọi hàm số.
- Phương pháp: Nhớ 2 quy tắc vàng:
- Hàm số có mẫu $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$: Điều kiện là $Q(x) \neq 0$.
- Hàm số có căn $y = \sqrt{P(x)}$: Điều kiện là $P(x) \ge 0$.
- Hàm số ở mẫu và trong căn $y = \frac{1}{\sqrt{P(x)}}$: Điều kiện là $P(x) > 0$.
Dạng 2: Khảo sát và Vẽ đồ thị hàm số bậc hai (Parabol)
Dạng này yêu cầu sự tỉ mỉ để vẽ được một “đường cong tuyệt mỹ”.
- Phương pháp (Quy trình 4 bước):
- Xác định đỉnh $I$: $x_I = -\frac{b}{2a}$, tính $y_I$ bằng cách thay $x_I$ vào hàm số.
- Trục đối xứng: Đường thẳng $x = -\frac{b}{2a}$.
- Lập bảng biến thiên: Dựa vào dấu của $a$ (a > 0: bề lõm quay lên; a < 0: bề lõm quay xuống).
- Vẽ đồ thị: Lấy thêm ít nhất 2 – 4 điểm đặc biệt (giao với trục $Ox, Oy$) để vẽ cho cân đối.
Dạng 3: Xét dấu tam thức bậc hai và Giải bất phương trình (BPT)
Đây là “linh hồn” của Bài 17, giúp bạn biết một biểu thức âm hay dương.
- Phương pháp:
- Tính $\Delta = b^2 – 4ac$.
- Tìm nghiệm của tam thức (nếu có).
- Sử dụng quy tắc “Trong trái – Ngoài cùng”:
- Nếu có 2 nghiệm phân biệt: Trong khoảng 2 nghiệm thì trái dấu với $a$, ngoài khoảng thì cùng dấu với $a$.
- Nếu $\Delta < 0$: Toàn bộ biểu thức luôn cùng dấu với $a$.
Dạng 4: Giải phương trình quy về phương trình bậc hai
Thường gặp nhất là phương trình chứa căn dạng $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ hoặc $\sqrt{f(x)} = g(x)$.
- Phương pháp:
- Bình phương hai vế để mất căn thức.
- Giải phương trình bậc hai thu được.
- BẮT BUỘC: Thử lại nghiệm vào phương trình ban đầu hoặc đặt điều kiện để loại nghiệm ngoại lai. (Rất nhiều bạn mất điểm vì quên bước này đấy!).
📜 2. Nguồn gốc và Các Nhà toán học lừng danh
Lịch sử của hàm số là một cuộc hành trình kéo dài hàng ngàn năm với sự góp mặt của những “ngôi sao” sau:
👤 René Descartes (1596 – 1650) – “Cha đẻ” của Hệ tọa độ
Bạn có bao giờ thắc mắc tại sao hệ trục tọa độ lại gọi là hệ tọa độ Cartesian (với hai trục $Ox, Oy$)? Đó là vì Descartes!
- Câu chuyện: Tương truyền khi nằm nhìn một con ruồi bò trên trần nhà, ông nhận ra có thể xác định vị trí của nó bằng khoảng cách đến hai bức tường.
- Đóng góp: Ông là người đầu tiên kết hợp Hình học và Đại số, cho phép chúng ta “vẽ” được các phương trình thành hình ảnh.
👤 Galileo Galilei (1564 – 1642) – Người tìm ra Parabol
Trước Galileo, người ta tưởng rằng một viên đạn đại bác bay theo đường thẳng rồi rơi thẳng xuống.
- Đóng góp: Bằng thực nghiệm, Galileo chứng minh được rằng quỹ đạo của một vật rơi tự do chính là một đường Parabol. Đây chính là nguồn gốc thực tế nhất của hàm số bậc hai.
👤 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) – Người đặt tên
Dù ý niệm về hàm số đã có từ lâu, nhưng chính Leibniz là người đầu tiên sử dụng thuật ngữ “Function” (Hàm số) vào năm 1694 để chỉ các đại lượng thay đổi liên quan đến một điểm trên đường cong.
👤 Leonhard Euler (1707 – 1783) – Ký hiệu $f(x)$
Nếu bạn thấy ký hiệu $y = f(x)$ quen thuộc (và đôi khi đáng ghét), thì đó là “tác phẩm” của Euler. Ông là người đưa hàm số trở thành trung tâm của toán học hiện đại.