Danh mục: TOÁN 12

1.16. Hình 1.26 là đồ thị của hàm số $y = f(x) = \frac{2x^2}{x^2 – 1}$.

Sử dụng đồ thị này, hãy:

a) Viết kết quả của các giới hạn sau: $\lim_{x \to -\infty} f(x)$; $\lim_{x \to +\infty} f(x)$; $\lim_{x \to 1^-} f(x)$; $\lim_{x \to 1^+} f(x)$.

b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

1.17. Đường thẳng $x = 1$ có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 2x – 3}{x – 1}$ không?

1.18. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) $y = \frac{3 – x}{2x + 1}$

b) $y = \frac{2x^2 + x – 1}{x + 2}$

1.19. Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất $x$ (sản phẩm) là:

$$C(x) = 2x + 50 \text{ (triệu đồng)}.$$

Khi đó $f(x) = \frac{C(x)}{x}$ là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số $f(x)$ giảm và $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$. Tính chất này nói lên điều gì?

1.20. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng $144 \text{ m}^2$. Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là $x \text{ (m)}$.

a) Viết biểu thức tính chu vi $P(x) \text{ (mét)}$ của mảnh vườn.

b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số $P(x)$.

1.10. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = -x^2 + 4x + 3$;

b) $y = x^3 – 2x^2 + 1$ trên $[0; +\infty)$;

c) $y = \frac{x^2 – 2x + 3}{x – 1}$ trên $(1; +\infty)$;

d) $y = \sqrt{4x – 2x^2}$.

1.11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y = x^4 – 2x^2 + 3$;

b) $y = xe^{-x}$;

c) $y = x \ln x$;

d) $y = \sqrt{x – 1} + \sqrt{3 – x}$.

1.12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y = 2x^3 – 6x + 3$ trên đoạn $[-1; 2]$;

b) $y = x^4 – 3x^2 + 2$ trên đoạn $[0; 3]$;

c) $y = x – \sin 2x$ trên đoạn $[0; \pi]$;

d) $y = (x^2 – x)e^x$ trên đoạn $[0; 1]$.

1.13. Trong các hình chữ nhật có chu vi là $24 \text{ cm}$, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

1.14. Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng $108 \text{ cm}^2$ như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

1.15. Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích $1\,000 \text{ cm}^3$. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá $1,2$ nghìn đồng/$\text{cm}^2$, trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá $0,75$ nghìn đồng/$\text{cm}^2$. Tìm các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

1.1. Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của các hàm số có đồ thị như sau:

a) Đồ thị hàm số $y = x^3 – \frac{3}{2}x^2$ (H.1.11);

b) Đồ thị hàm số $y = \sqrt[3]{(x^2 – 4)^2}$ (H.1.12).

1.2. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) $y = \frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 3x + 1$;

b) $y = -x^3 + 2x^2 – 5x + 3$.

1.3. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y = \frac{2x – 1}{x + 2}$;

b) $y = \frac{x^2 + x + 4}{x – 3}$.

1.4. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{4 – x^2}$;

b) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$.

1.5. Giả sử số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số

$$N(t) = \frac{25t + 10}{t + 5}, t \ge 0,$$

trong đó $N(t)$ được tính bằng nghìn người.

a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.

b) Tính đạo hàm $N'(t)$ và $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. Từ đó, giải thích tại sao số dân của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt quá một ngưỡng nào đó.

1.6. Đồ thị của đạo hàm bậc nhất $y = f'(x)$ của hàm số $f(x)$ được cho trong Hình 1.13.

a) Hàm số $f(x)$ đồng biến trên những khoảng nào? Giải thích.

b) Tại giá trị nào của $x$ thì $f(x)$ có cực đại hoặc cực tiểu? Giải thích.

---

1.7. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) $y = 2x^3 – 9x^2 + 12x – 5$;

b) $y = x^4 – 4x^2 + 2$;

c) $y = \frac{x^2 – 2x + 3}{x – 1}$;

d) $y = \sqrt{4x – 2x^2}$.

---

1.8. Cho hàm số $y = f(x) = |x|$.

a) Tính các giới hạn $\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0}$ và $\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0}$.

Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.

b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại $x = 0$ (xem Hình 1.4).

---

1.9. Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số

$$f(t) = \frac{5\,000}{1 + 5e^{-t}}, \quad t \ge 0,$$

trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f'(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?