Danh mục: TOÁN 12

A – TRẮC NGHIỆM

1.30. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$. Phát biểu nào dưới đây là đúng?

• A. Nếu $f'(x) \geq 0$ với mọi $x$ thuộc $(a; b)$ thì hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$.
• B. Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $(a; b)$ thì hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$.
• C. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$ khi và chỉ khi $f'(x) \geq 0$ với mọi $x$ thuộc $(a; b)$.
• D. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $(a; b)$ khi và chỉ khi $f'(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc $(a; b)$.

1.31. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

• A. $y = -x^3 + 3x^2 – 9x$.
• B. $y = -x^3 + x + 1$.
• C. $y = \frac{x-1}{x-2}$.
• D. $y = 2x^2 + 3x + 2$.

1.32. Hàm số nào dưới đây không có cực trị?

• A. $y = |x|$.
• B. $y = x^4$.
• C. $y = -x^3 + x$.
• D. $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$.

1.33. Giá trị cực tiểu của hàm số $y = x^2 \ln x$ là

• A. $\frac{1}{e}$.
• B. $-\frac{1}{e}$.
• C. $-\frac{1}{2e}$.
• D. $\frac{1}{2e}$.

1.34. Giá trị lớn nhất của hàm số $y = (x – 2)^2 \cdot e^x$ trên đoạn $[1; 3]$ là

• A. $0$.
• B. $e^3$.
• C. $e^4$.
• D. $e$.

1.35. Cho hàm số $y = f(x)$ thoả mãn: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 1$; $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1$; $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ và $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

• A. Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
• B. Đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
• C. Đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
• D. Đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

1.36. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 + 2x – 2}{x + 2}$ là

• A. $y = -2$.
• B. $y = 1$.
• C. $y = x + 2$.
• D. $y = x$.

1.37. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus \{1; 3\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là sai?

• A. Đường thẳng $y = 1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
• B. Đường thẳng $y = -1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
• C. Đường thẳng $x = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• D. Đường thẳng $x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

1.38. Đồ thị trong Hình 1.37 là đồ thị của hàm số:

• A. $y = \frac{x + 2}{x + 1}$.
• B. $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$.
• C. $y = \frac{x – 1}{x + 1}$.
• D. $y = \frac{x + 3}{1 – x}$.

1.39. Đồ thị trong Hình 1.38 là đồ thị của hàm số:

• A. $y = x – \frac{1}{x + 1}$.
• B. $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$.
• C. $y = \frac{x^2 – x + 1}{x + 1}$.
• D. $y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.

---

B – TỰ LUẬN

1.40. Xét chiều biến thiên và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:

• a) $y = x^3 – 3x^2 + 3x – 1$;
• b) $y = x^4 – 2x^2 – 1$;
• c) $y = \frac{2x – 1}{3x + 1}$;
• d) $y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1}$.

1.41. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

• a) $y = \frac{2x + 1}{3x – 2}$ trên nửa khoảng $[2; +\infty)$;
• b) $y = \sqrt{2 – x^2}$.

1.42. Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau:

• a) $y = \frac{3x – 2}{x + 1}$;
• b) $y = \frac{x^2 + 2x – 1}{2x – 1}$.

1.43. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

• a) $y = -x^3 + 6x^2 – 9x + 12$;
• b) $y = \frac{2x – 1}{x + 1}$;
• c) $y = \frac{x^2 – 2x}{x – 1}$.

1.44. Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự $f$ (H.1.39). Khoảng cách $p$ từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách $q$ từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức:

$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}$$

• a) Viết công thức tính $q = g(p)$ như một hàm số của biến $p \in (f; +\infty)$.
• b) Tính các giới hạn $\lim_{p \to +\infty} g(p)$; $\lim_{p \to f^+} g(p)$ và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
• c) Lập bảng biến thiên của hàm số $q = g(p)$ trên khoảng $(f; +\infty)$.

1.45. Dân số của một quốc gia sau $t$ (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức:

$N(t) = 100e^{0,012t}$ ($N(t)$ được tính bằng triệu người, $0 \leq t \leq 50$).

• a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).
• b) Xem $N(t)$ là hàm số của biến số $t$ xác định trên đoạn $[0; 50]$. Xét chiều biến thiên của hàm số $N(t)$ trên đoạn $[0; 50]$.
• c) Đạo hàm của hàm số $N(t)$ biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/năm?

1.46. Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở $A$ đến một hòn đảo ở $C$ như Hình 1.40. Khoảng cách từ $C$ đến $B$ là 4 km. Bờ biển chạy thẳng từ $A$ đến $B$ với khoảng cách là 10 km. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Xác định vị trí điểm $M$ trên đoạn $AB$ (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.

1.26. Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm $t$ (giây) là $y = t^3 – 12t + 3, t \ge 0$.

a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.

b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?

c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian $0 \le t \le 3$.

d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

---

1.27. Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất $x$ đơn vị hàng hóa nào đó là:

$$C(x) = 23\,000 + 50x – 0,5x^2 + 0,00175x^3$$

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm $C'(100)$ và giải thích ý nghĩa của nó.

c) So sánh $C'(100)$ với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ $101$.

---

1.28. Người quản lý của một khu chung cư có $100$ căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là $8$ triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm $100$ nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lý nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

---

1.29. Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hóa được cho bởi công thức:

$$p = \frac{354}{1 + 0,01x}, x \ge 0$$

trong đó $p$ là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và $x$ là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.

a) Tìm công thức tính $x$ như là hàm số của $p$. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán của mỗi đơn vị sản phẩm là $240$ nghìn đồng.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $x = x(p)$. Từ đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

• Số lượng đơn vị sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán $p$ tăng;
• Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn $\lim_{p \to 0^+} x(p)$.

1.21. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = -x^3 + 3x + 1$;

b) $y = x^3 + 3x^2 – x – 1$.

1.22. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{2x + 1}{x + 1}$;

b) $y = \frac{x + 3}{1 – x}$.

1.23. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{2x^2 – x + 4}{x – 1}$;

b) $y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 3}$.

1.24. Một cốc chứa $30 \text{ ml}$ dung dịch $\text{KOH}$ (potassium hydroxide) với nồng độ $100 \text{ mg/ml}$. Một bình chứa dung dịch $\text{KOH}$ khác với nồng độ $8 \text{ mg/ml}$ được trộn vào cốc.

a) Tính nồng độ $\text{KOH}$ trong cốc sau khi trộn $x \text{ (ml)}$ từ bình chứa, kí hiệu là $C(x)$.

b) Coi $C(x)$ là hàm số xác định với $x \ge 0$. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.

c) Giải thích tại sao nồng độ $\text{KOH}$ trong cốc giảm theo $x$ nhưng luôn lớn hơn $8 \text{ mg/ml}$.

1.25. Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở $R_1$ và $R_2$ thì điện trở tương đương $R$ của mạch điện được tính theo công thức $R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Giả sử một điện trở $8 \ \Omega$ được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu điện trở đó được kí hiệu là $x \ (\Omega)$ thì điện trở tương đương $R$ là hàm số của $x$. Vẽ đồ thị của hàm số $y = R(x), x > 0$ và dựa vào đồ thị đã vẽ, hãy cho biết:

a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi $x$ tăng.

b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá $8 \ \Omega$.