1. Viết đề lại
Câu 72: Xét hàm số $y = f(x)$ có $f'(x) = 3x(x – 2)$ và đồ thị $(C)$ của nó thì đi qua gốc toạ độ. Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi $(C)$ và trục hoành.
A. $0$.
B. $-\frac{27}{4}$.
C. $4$.
D. $\frac{27}{4}$.
2. Công thức, lý thuyết và phương pháp giải
Lý thuyết và Công thức:
- Tìm hàm số gốc: Hàm số $f(x)$ là một nguyên hàm của $f'(x)$.$$f(x) = \int f'(x) dx$$
- Điều kiện đi qua một điểm: Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$ nghĩa là tại $x = 0$ thì $y = 0$, hay $f(0) = 0$. Dữ kiện này dùng để tìm hằng số $C$ sau khi lấy nguyên hàm.
- Diện tích hình phẳng: Diện tích $S$ của phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành ($y = 0$) và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ (với $a, b$ là hoành độ giao điểm của đồ thị và trục hoành, $a < b$) được tính bằng công thức:$$S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$$
Phương pháp giải:
- Tính tích phân bất định của $f'(x)$ để tìm $f(x)$ (sẽ chứa hằng số $C$).
- Thay $x = 0, y = 0$ vào $f(x)$ để tìm $C$, từ đó có hàm số $f(x)$ cụ thể.
- Lập phương trình hoành độ giao điểm $f(x) = 0$ để tìm các cận tích phân (các nghiệm $x$).
- Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng. Có thể bỏ dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân để tính cho nhanh: $S = \left| \int_{a}^{b} f(x) dx \right|$.
3. Bài giải chi tiết
Bước 1: Tìm hàm số $f(x)$
Ta có: $f'(x) = 3x(x – 2) = 3x^2 – 6x$
Suy ra:
$$f(x) = \int (3x^2 – 6x) dx = x^3 – 3x^2 + C$$
Vì đồ thị $(C)$ đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$ nên $f(0) = 0$.
Thay $x = 0$ vào, ta được:
$$0^3 – 3 \cdot 0^2 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0$$
Vậy hàm số là: $f(x) = x^3 – 3x^2$.
Bước 2: Tìm cận tích phân
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và trục hoành là:
$$x^3 – 3x^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(x – 3) = 0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x = 3 \end{array} \right.$$
Bước 3: Tính diện tích
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
$$S = \int_{0}^{3} |x^3 – 3x^2| dx$$
$$S = \left| \int_{0}^{3} (x^3 – 3x^2) dx \right|$$
$$S = \left| \left( \frac{x^4}{4} – x^3 \right) \Bigg|_{0}^{3} \right|$$
$$S = \left| \left( \frac{3^4}{4} – 3^3 \right) – 0 \right| = \left| \frac{81}{4} – 27 \right| = \left| -\frac{27}{4} \right| = \frac{27}{4}$$
Kết luận: Đáp án đúng là D.
4. Cách làm nhanh – Trắc nghiệm (Bấm máy Casio)
Với câu trắc nghiệm này, bạn có thể kết hợp nhẩm và bấm máy tính để ra kết quả trong vòng 15 giây:
- Nhẩm nhanh hàm số: $f'(x) = 3x^2 – 6x \rightarrow f(x) = x^3 – 3x^2$. (Do qua gốc tọa độ nên phần hệ số tự do bằng $0$).
- Mẹo loại đáp án: Diện tích hình phẳng luôn là một số dương (lớn hơn 0 vì đồ thị không trùng hoàn toàn với trục hoành). Ta loại ngay đáp án A ($0$) và B ($-\frac{27}{4}$).
- Bấm máy:
- Bấm giải phương trình bậc 3: $x^3 – 3x^2 = 0 \Rightarrow$ máy báo 2 nghiệm là $x = 3$ và $x = 0$.
- Bấm trực tiếp phép tính tích phân có dấu giá trị tuyệt đối (Shift +
(trên nhiều dòng Casio để hiện chữAbs):$$\int_{0}^{3} |X^3 – 3X^2| dX$$ - Máy tính sẽ trả ra kết quả là $6.75$. Chuyển sang phân số bằng nút $S \Leftrightarrow D$, ta được $\frac{27}{4}$. Chọn D.