Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 82 đến 84
Một nhà máy có hai lô hàng cần kiểm tra. Lô A có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm lỗi. Lô B có 15 sản phẩm, trong đó có 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm lỗi.
Câu 82: Từ lô hàng A chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 sản phẩm, xác suất để người đó lấy được 2 sản phẩm tốt là:
- A. $\frac{7}{15}$.
- B. $\frac{1}{5}$.
- C. $\frac{7}{30}$.
- D. $\frac{11}{90}$.
Bước 1: Xác định không gian mẫu $n(\Omega)$
Thực hiện chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 sản phẩm từ lô hàng A (tổng cộng có 10 sản phẩm).
Số cách chọn là tổ hợp chập 2 của 10:
$$n(\Omega) = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \text{ (cách)}$$
Bước 2: Xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$
Biến cố $A$: “Lấy được 2 sản phẩm tốt từ lô A”.
Vì lô A có 7 sản phẩm tốt, nên số cách chọn ra 2 sản phẩm tốt là:
$$n(A) = C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \text{ (cách)}$$
Bước 3: Tính xác suất $P(A)$
Xác suất để lấy được 2 sản phẩm tốt là:
$$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{21}{45}$$
Rút gọn phân số (chia cả tử và mẫu cho 3):
$$P(A) = \frac{7}{15}$$
Kết luận: Đáp án đúng là A.
Câu 83: Xác suất đầy đủ
Đề bài: Chọn ngẫu nhiên một lô hàng, rồi từ lô hàng đó chọn ra 2 sản phẩm. Xác suất để lấy được 2 sản phẩm tốt là:
- A. $\frac{94}{105}$.
- B. $\frac{23}{94}$.
- C. $\frac{47}{105}$.
- D. $\frac{49}{94}$.
Lời giải chi tiết
Gọi $H_1$ là biến cố chọn được lô A, $H_2$ là biến cố chọn được lô B.
Vì chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 lô nên: $P(H_1) = P(H_2) = \frac{1}{2}$.
Gọi $A$ là biến cố “lấy được 2 sản phẩm tốt”.
- Nếu thuộc lô A: $P(A|H_1) = \frac{C_7^2}{C_{10}^2} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$.
- Nếu thuộc lô B: $P(A|H_2) = \frac{C_{10}^2}{C_{15}^2} = \frac{45}{105} = \frac{3}{7}$.
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ:
$$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$$
$$P(A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{15} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{7}{30} + \frac{3}{14} = \frac{49 + 45}{210} = \frac{94}{210} = \frac{47}{105}$$
=> Chọn đáp án C.
Câu 84: Xác suất Bayes (Xác suất hậu nghiệm)
Đề bài: Chọn ngẫu nhiên một lô hàng, rồi từ lô hàng đó chọn ra 1 sản phẩm. Biết sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi. Xác suất để lô được chọn là lô B là:
- A. $\frac{9}{19}$.
- B. $\frac{10}{19}$.
- C. $\frac{1}{2}$.
- D. $\frac{3}{5}$.
Lời giải chi tiết
Tương tự câu trên, ta có $P(H_1) = P(H_2) = \frac{1}{2}$.
Gọi $B$ là biến cố “lấy được 1 sản phẩm lỗi”.
- Xác suất lỗi ở lô A: $P(B|H_1) = \frac{3}{10}$.
- Xác suất lỗi ở lô B: $P(B|H_2) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.
Trước hết, tính xác suất để lấy được 1 sản phẩm lỗi bất kỳ (xác suất đầy đủ):
$$P(B) = P(H_1) \cdot P(B|H_1) + P(H_2) \cdot P(B|H_2)$$
$$P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{10} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{20} + \frac{1}{6} = \frac{9 + 10}{60} = \frac{19}{60}$$
Xác suất để lô được chọn là lô B khi biết sản phẩm đó đã bị lỗi (Công thức Bayes):
$$P(H_2|B) = \frac{P(H_2) \cdot P(B|H_2)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{19}{60}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{60}{19} = \frac{10}{19}$$
=> Chọn đáp án B.