Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \frac{3 \cdot 2^n – 1}{2^n}$.
Chứng minh bằng định nghĩa: $\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$.
Giải
Để chứng minh $\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$, ta cần chứng minh $\lim_{n \to +\infty} (u_n – 3) = 0$.
Xét hiệu $(u_n – 3)$
Ta có:
$$u_n – 3 = \frac{3 \cdot 2^n – 1}{2^n} – 3$$
$$u_n – 3 = \left( \frac{3 \cdot 2^n}{2^n} – \frac{1}{2^n} \right) – 3$$
$$u_n – 3 = \left( 3 – \frac{1}{2^n} \right) – 3$$
$$u_n – 3 = – \frac{1}{2^n}$$
Xét giới hạn của hiệu khi $n$ dần tới dương vô cực:
$$\lim_{n \to +\infty} (u_n – 3) = \lim_{n \to +\infty} \left( – \frac{1}{2^n} \right)$$
$$\lim_{n \to +\infty} (u_n – 3) = – \lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n$$
Vì $|q| = |\frac{1}{2}| < 1$, nên theo định lý về giới hạn của cấp số nhân lùi vô hạn, ta có:
$$\lim_{n \to +\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = 0$$
Suy ra:
$$\lim_{n \to +\infty} (u_n – 3) = 0$$
Kết luận
Vì $\lim_{n \to +\infty} (u_n – 3) = 0$, nên theo đúng định nghĩa, ta kết luận:
$$\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$$