Hoạt động 4 (HĐ4): Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp, và độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh $A, B, C$ lần lượt là $a, b, c$.
a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác $ABC$ và diện tích các tam giác con $IBC, ICA, IAB$.
b) Tính diện tích tam giác $ABC$ theo $r, a, b, c$.
Giải
a) Mối liên hệ giữa các diện tích:
Tâm $I$ nằm bên trong tam giác $ABC$. Khi nối $I$ với các đỉnh $A, B, C$, tam giác $ABC$ được chia thành 3 tam giác riêng biệt là $\triangle IBC, \triangle ICA$ và $\triangle IAB$.
Do đó, diện tích tam giác $ABC$ (ký hiệu là $S$) bằng tổng diện tích của 3 tam giác này:
$$S_{ABC} = S_{IBC} + S_{ICA} + S_{IAB}$$
b) Tính diện tích tam giác $ABC$ theo $r, a, b, c$:
- Trong $\triangle IBC$, đường cao hạ từ $I$ xuống cạnh $BC$ chính là bán kính $r$. Vậy: $S_{IBC} = \frac{1}{2}ar$.
- Tương tự, trong $\triangle ICA$, đường cao hạ từ $I$ xuống $AC$ là $r$. Vậy: $S_{ICA} = \frac{1}{2}br$.
- Trong $\triangle IAB$, đường cao hạ từ $I$ xuống $AB$ là $r$. Vậy: $S_{IAB} = \frac{1}{2}cr$.
Cộng tất cả lại, ta có:
$$S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr$$
$$S = \frac{(a + b + c) \cdot r}{2}$$
Nếu đặt $p = \frac{a + b + c}{2}$ (nửa chu vi), ta được công thức thu gọn: $S = pr$.