Hoạt động 5 (HĐ5): Cho tam giác $ABC$ có đường cao $BD$.
- a) Biểu thị $BD$ theo $AB$ và $\sin A$.
- b) Viết công thức tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$ theo $b, c, \sin A$.
Giải
a) Biểu thị $BD$ theo $AB$ và $\sin A$:
Trường hợp 1: Góc $A$ nhọn (Hình 3.14 bên trái)
Xét tam giác $ABD$ vuông tại $D$, ta có:$$\sin A = \frac{BD}{AB} \implies BD = AB \cdot \sin A$$
Trường hợp 2: Góc $A$ tù (Hình 3.14 bên phải)
Xét tam giác $ABD$ vuông tại $D$, ta có $\widehat{DAB}$ là góc kề bù với góc $A$ của tam giác $ABC$. Khi đó:$$BD = AB \cdot \sin(\widehat{DAB}) = AB \cdot \sin(180^\circ – \widehat{A})$$Vì $\sin(180^\circ – \alpha) = \sin \alpha$, nên ta vẫn có:$$BD = AB \cdot \sin A$$
b) Viết công thức tính diện tích $S$ của tam giác $ABC$ theo $b, c, \sin A$:
Ta có diện tích tam giác $ABC$ với đáy là $AC$ và đường cao tương ứng là $BD$:
$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$$
Thay $AC = b$, $AB = c$ và $BD = c \cdot \sin A$ (từ câu a) vào công thức trên, ta được:
$$S = \frac{1}{2} bc \sin A$$