Nếu $\lim_{n \to +\infty} u_n = a$ và $\lim_{n \to +\infty} v_n = b$ thì $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = \frac{a}{b}$ (với điều kiện $b \neq 0$)
Giải
Xét hiệu:
$$\left| \frac{1}{v_n} – \frac{1}{b} \right| = \left| \frac{b – v_n}{v_n \cdot b} \right| = \frac{|v_n – b|}{|v_n| \cdot |b|}$$
Đánh giá mẫu số:
Vì $\lim v_n = b \neq 0$, nên với $n$ đủ lớn, $v_n$ sẽ “gần” $b$. Cụ thể, tồn tại $N_1$ sao cho $|v_n| > \frac{|b|}{2}$ với mọi $n > N_1$.
Khi đó: $\frac{1}{|v_n|} < \frac{2}{|b|}$.
Chọn $n$ đủ lớn:
Chọn $N_2$ sao cho với mọi $n > N_2$ thì $|v_n – b| < \frac{\epsilon \cdot b^2}{2}$.
Kết hợp:
Với $n > \max(N_1, N_2)$, ta có:
$$\frac{|v_n – b|}{|v_n| \cdot |b|} < \frac{|v_n – b|}{\frac{|b|}{2} \cdot |b|} = \frac{2|v_n – b|}{b^2} < \frac{2}{b^2} \cdot \frac{\epsilon \cdot b^2}{2} = \epsilon$$
Kết luận:
Vậy $\lim \frac{1}{v_n} = \frac{1}{b}$.
