Nếu $\lim_{n \to +\infty} u_n = a$ và $\lim_{n \to +\infty} v_n = b$ thì $\lim (u_n \cdot v_n) = a \cdot b$
Giải
Đánh giá biểu thức:
$$|u_n \cdot v_n – a \cdot b| = |u_n \cdot v_n – u_n \cdot b + u_n \cdot b – a \cdot b|$$
Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
$$|u_n(v_n – b) + b(u_n – a)| \leq |u_n| \cdot |v_n – b| + |b| \cdot |u_n – a|$$
Tính chất dãy hội tụ:
Vì $\lim u_n = a$ nên dãy $(u_n)$ bị chặn. Tồn tại một số thực $M > 0$ sao cho $|u_n| \leq M$ với mọi $n$.
Chọn $n$ đủ lớn:
- Để $|b| \cdot |u_n – a| < \frac{\epsilon}{2}$, ta chọn $n > N_1$ sao cho $|u_n – a| < \frac{\epsilon}{2(|b| + 1)}$.
- Để $M \cdot |v_n – b| < \frac{\epsilon}{2}$, ta chọn $n > N_2$ sao cho $|v_n – b| < \frac{\epsilon}{2M}$.
Kết hợp:
Với $n > \max(N_1, N_2)$, ta có:
$$|u_n v_n – ab| < M \cdot \frac{\epsilon}{2M} + |b| \cdot \frac{\epsilon}{2(|b|+1)} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$
Kết luận: Vậy $\lim (u_n \cdot v_n) = a \cdot b$.
