ĐẠO HÀM

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (7,0 ĐIỂM)

Chọn đáp án đúng nhất trong các phương án sau:

Mức độ Nhận biết (Câu 1 – 10)

Câu 1: Đạo hàm của hàm số $f(x) = x^n$ ($n \in \mathbb{N}, n > 1$) là:

A. $n \cdot x^{n+1}$

B. $n \cdot x^{n-1}$

C. $x^{n-1}$

D. $\frac{1}{n}x^{n-1}$

Câu 2: Cho hàm số $y = \sin x$. Đạo hàm $y’$ của hàm số là:

A. $\cos x$

B. $-\cos x$

C. $\sin x$

D. $\frac{1}{\cos x}$

Câu 3: Đạo hàm của hàm hằng $y = c$ (với $c$ là số thực) bằng:

A. $1$

B. $x$

C. $0$

D. $c$

Câu 4: Hệ số góc $k$ của tiếp tuyến tại điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc đồ thị hàm số $y = f(x)$ là:

A. $k = f(x_0)$

B. $k = f'(x_0)$

C. $k = -f'(x_0)$

D. $k = \frac{1}{f'(x_0)}$

Câu 5: Đạo hàm của hàm số $y = \tan x$ (tại những điểm hàm số xác định) là:

A. $\frac{1}{\sin^2 x}$

B. $-\frac{1}{\cos^2 x}$

C. $\frac{1}{\cos^2 x}$

D. $1 + \sin^2 x$

Câu 6: Công thức tính đạo hàm của một tích $(u \cdot v)’$ là:

A. $u’v + uv’$

B. $u’v’$

C. $u’v – uv’$

D. $u’ + v’$

Câu 7: Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{x}$ ($x > 0$) là:

A. $\frac{1}{\sqrt{x}}$

B. $2\sqrt{x}$

C. $\frac{1}{2\sqrt{x}}$

D. $\frac{2}{\sqrt{x}}$

Câu 8: Cho hàm số $f(x) = x^3$. Đạo hàm cấp hai $f”(x)$ là:

A. $3x^2$

B. $6x$

C. $6$

D. $0$

Câu 9: Vi phân của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x$ ứng với số gia $dx$ là:

A. $dy = f'(x)$

B. $dy = f'(x)dx$

C. $dy = f(x)dx$

D. $dy = dx$

Câu 10: Đạo hàm của $y = \cos x$ là:

A. $\sin x$

B. $-\sin x$

C. $-\cos x$

D. $\frac{1}{\sin x}$

Mức độ Thông hiểu (Câu 11 – 20)

Câu 11: Đạo hàm của hàm số $y = (3x + 2)^5$ là:

A. $5(3x + 2)^4$

B. $15(3x + 2)^4$

C. $3(3x + 2)^4$

D. $15(3x + 2)^5$

Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số $y = \sin(2x + 1)$:

A. $\cos(2x + 1)$

B. $2\cos(2x + 1)$

C. $-2\cos(2x + 1)$

D. $2\sin(2x + 1)$

Câu 13: Cho hàm số $y = x^2 – 4x + 3$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(1; 0)$ là:

A. $y = -2x + 2$

B. $y = 2x – 2$

C. $y = -2x – 2$

D. $y = x – 1$

Câu 14: Đạo hàm của hàm số $y = \frac{x-1}{x+1}$ là:

A. $\frac{2}{(x+1)^2}$

B. $\frac{-2}{(x+1)^2}$

C. $\frac{1}{(x+1)^2}$

D. $\frac{2}{x+1}$

Câu 15: Cho hàm số $y = \sqrt{x^2 + 1}$. Đạo hàm $y’$ bằng:

A. $\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$

B. $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

C. $\frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}$

D. $\frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}$

Câu 16: Một vật rơi tự do có phương trình $s(t) = \frac{1}{2}gt^2$ ($g = 9,8 \text{ m/s}^2$). Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 2s$ là:

A. $9,8 \text{ m/s}$

B. $19,6 \text{ m/s}$

C. $4,9 \text{ m/s}$

D. $39,2 \text{ m/s}$

Câu 17: Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \sin x$ là:

A. $\cos x$

B. $-\cos x$

C. $-\sin x$

D. $\sin x$

Câu 18: Tính đạo hàm của hàm số $y = x \cdot \sin x$:

A. $\sin x + x\cos x$

B. $\cos x$

C. $\sin x – x\cos x$

D. $x\cos x$

Câu 19: Đạo hàm của hàm số $y = \cos^2 x$ là:

A. $-2\sin x \cos x$

B. $2\cos x$

C. $2\sin x$

D. $\sin(2x)$

Câu 20: Cho $f(x) = \frac{1}{x}$. Tính $f”(1)$:

A. $-1$

B. $1$

C. $2$

D. $-2$

Mức độ Vận dụng (Câu 21 – 28)

Câu 21: Tìm $m$ để đạo hàm của hàm số $y = \frac{x^3}{3} – mx^2 + x + 5$ luôn không âm với mọi $x \in \mathbb{R}$:

A. $m \leq 1$

B. $-1 \leq m \leq 1$

C. $m \geq 1$

D. $m < 1$

Câu 22: Cho hàm số $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$. Giải bất phương trình $f'(x) < 0$:

A. $x \neq 1$

B. $x > 1$

C. $x < 1$

D. Không có giá trị $x$ thỏa mãn

Câu 23: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{x+2}{x-1}$ tại điểm có tung độ $y_0 = 4$ là:

A. $y = -3x + 10$

B. $y = -3x – 10$

C. $y = 3x + 2$

D. $y = -x + 6$

Câu 24: Đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{\cos 2x}$ là:

A. $\frac{-\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}}$

B. $\frac{\sin 2x}{2\sqrt{\cos 2x}}$

C. $\frac{-\sin 2x}{2\sqrt{\cos 2x}}$

D. $\frac{-2\sin 2x}{\sqrt{\cos 2x}}$

Câu 25: Gia tốc tức thời của chuyển động $s(t) = t^3 – 3t^2 + 2$ tại thời điểm vận tốc bằng $0$ ($t > 0$) là:

A. $6 \text{ m/s}^2$

B. $0 \text{ m/s}^2$

C. $-6 \text{ m/s}^2$

D. $12 \text{ m/s}^2$

Câu 26: Cho hàm số $y = \tan 2x$. Đạo hàm cấp hai $y”$ tại $x = 0$ là:

A. $0$

B. $2$

C. $4$

D. $8$

Câu 27: Đạo hàm cấp 2026 của hàm số $y = \cos x$ là:

A. $\cos x$

B. $-\cos x$

C. $\sin x$

D. $-\sin x$

Câu 28: Cho hàm số $f(x) = \sin^4 x + \cos^4 x$. Tính $f'(x)$:

A. $-\sin(4x)$

B. $\sin(4x)$

C. $-\frac{1}{2}\sin(4x)$

D. $4\sin^3 x – 4\cos^3 x$

PHẦN II: TỰ LUẬN (3,0 điểm)

Bài 1 (1,0 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \sqrt{x^2 – 3x + 2}$

b) $y = \frac{\sin x}{x}$ (với $x \neq 0$)

Bài 2 (1,0 điểm): Cho hàm số $y = f(x) = \frac{x+2}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 2$.

Bài 3 (1,0 điểm): Cho hàm số $y = \cos^2 x$.

a) Tính đạo hàm cấp hai $y”$.

b) Chứng minh rằng hàm số thỏa mãn hệ thức: $y” + 4y = 2$.