Bài 3.11: Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng qua các điểm $A, B, C, D$ như Hình 3.19. Người ta dự định làm một đường hầm thẳng nối từ $A$ đến $D$ để rút ngắn khoảng cách.
Cho biết:
- $AB = 8$ km, $BC = 6$ km, $CD = 12$ km.
- Góc $\widehat{ABC} = 105^\circ$, góc $\widehat{BCD} = 135^\circ$.
Hỏi: Độ dài đường mới ($AD$) sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ ($AB + BC + CD$)?
Giải
Tính độ dài đường cũ
Độ dài đường cũ là:
$$S_1 = AB + BC + CD = 8 + 6 + 12 = 26 \text{ (km)}$$
Tính độ dài đường chéo $AC$
Xét tam giác $ABC$, áp dụng định lý Cosin:
$$AC^2 = AB^2 + BC^2 – 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\widehat{ABC})$$
$$AC^2 = 8^2 + 6^2 – 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos(105^\circ)$$
$$AC^2 = 64 + 36 – 96 \cdot \cos(105^\circ) \approx 124,85$$
$$\Rightarrow AC \approx 11,17 \text{ (km)}$$
Tính góc $\widehat{ACB}$
Áp dụng định lý Cosin để tìm góc:
$$\cos(\widehat{ACB}) = \frac{BC^2 + AC^2 – AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC} = \frac{6^2 + 124,85 – 8^2}{2 \cdot 6 \cdot 11,17} \approx 0,723$$
$$\Rightarrow \widehat{ACB} \approx 43,7^\circ$$
Tính góc $\widehat{ACD}$
Ta có: $\widehat{ACD} = \widehat{BCD} – \widehat{ACB} = 135^\circ – 43,7^\circ = 91,3^\circ$
Tính độ dài đường hầm $AD$
Xét tam giác $ACD$, áp dụng định lý Cosin:
$$AD^2 = AC^2 + CD^2 – 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\widehat{ACD})$$
$$AD^2 = 124,85 + 12^2 – 2 \cdot 11,17 \cdot 12 \cdot \cos(91,3^\circ)$$
$$AD^2 \approx 124,85 + 144 – 268,08 \cdot (-0,0227) \approx 274,93$$
$$\Rightarrow AD \approx 16,58 \text{ (km)}$$
Tính khoảng cách giảm được
Độ dài quãng đường giảm được là:
$$\Delta S = S_1 – AD = 26 – 16,58 = 9,42 \text{ (km)}$$
Đáp số: Quãng đường mới giảm khoảng 9,42 km so với đường cũ.