Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta có thể ngắm được Đảo Yến. Hãy đề xuất một cách xác định bề rộng của hòn đảo (theo chiều ta ngắm được) bằng các dụng cụ đo góc và đo khoảng cách trên đất liền.
Giải
$$CD = \sqrt{AC^2 + AD^2 – 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\widehat{CAD})}$$
Bước 1: Thiết lập sơ đồ đo
- Gọi $C$ và $D$ là hai đầu mút của hòn đảo mà ta cần đo bề rộng.
- Trên bờ biển, chọn hai điểm $A$ và $B$ cách nhau một khoảng $d$ (khoảng cách $d$ này ta có thể đo trực tiếp bằng thước dây hoặc máy laser).
Bước 2: Tiến hành đo góc
Tại điểm $A$ và $B$, dùng giác kế đo các góc sau:
- Tại $A$: Đo góc $\widehat{CAB} = \alpha_1$ và $\widehat{DAB} = \alpha_2$.
- Tại $B$: Đo góc $\widehat{CBA} = \beta_1$ và $\widehat{DBA} = \beta_2$.
Bước 3: Tính toán các cạnh trung gian
- Xét tam giác $ABC$: Ta có góc $\widehat{ACB} = 180^\circ – (\alpha_1 + \beta_1)$.Áp dụng định lý Sin: $AC = \frac{AB \cdot \sin \beta_1}{\sin \widehat{ACB}}$.
- Xét tam giác $ABD$: Ta có góc $\widehat{ADB} = 180^\circ – (\alpha_2 + \beta_2)$.Áp dụng định lý Sin: $AD = \frac{AB \cdot \sin \beta_2}{\sin \widehat{ADB}}$.
Bước 4: Tính bề rộng hòn đảo ($CD$)
- Xét tam giác $ACD$: Ta đã biết cạnh $AC$, cạnh $AD$ và góc $\widehat{CAD} = |\alpha_1 – \alpha_2|$.
- Áp dụng định lý Côsin:$$CD = \sqrt{AC^2 + AD^2 – 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\widehat{CAD})}$$
Kết luận: Giá trị $CD$ chính là bề rộng của hòn đảo cần xác định.