1. Đề bài
Câu 69: Cho hàm số:
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 – 4}{x – 2}, & x \neq 2 \\ m + 1, & x = 2 \end{cases}$$
với $m$ là tham số thực. Giá trị của $m$ để hàm số liên tục tại $x_0 = 2$ là:
A. $m = 3$.
B. $m = 2$.
C. $m = 4$.
D. $m = 1$.
2. Công thức và Lý thuyết
Để giải bài toán này, chúng ta cần nắm vững định nghĩa về hàm số liên tục tại một điểm:
Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_0$ khi và chỉ khi:
$$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$
Các bước giải chung:
- Tính giá trị của hàm số tại điểm đó: Tìm $f(x_0)$.
- Tính giới hạn của hàm số: Tìm $L = \lim_{x \to x_0} f(x)$.
- Lập phương trình: Cho $f(x_0) = L$ để tìm tham số $m$.
3. Bài giải chi tiết
Bước 1: Tính $f(2)$
Theo đề bài, tại $x = 2$, hàm số có giá trị là:
$$f(2) = m + 1$$
Bước 2: Tính giới hạn $\lim_{x \to 2} f(x)$
$$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 – 4}{x – 2}$$
Đây là dạng vô định $\frac{0}{0}$. Ta thực hiện phân tích tử số thành nhân tử:
$$\lim_{x \to 2} \frac{(x – 2)(x + 2)}{x – 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2)$$
Thay $x = 2$ vào biểu thức, ta được:
$$\lim_{x \to 2} f(x) = 2 + 2 = 4$$
Bước 3: Tìm $m$
Để hàm số liên tục tại $x_0 = 2$, ta cần:
$$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$$
$$\Leftrightarrow 4 = m + 1$$
$$\Leftrightarrow m = 3$$
Kết luận: Chọn đáp án A.
4. Cách làm nhanh (Mẹo Trắc nghiệm)
Khi làm trắc nghiệm, bạn có thể rút ngắn các bước như sau:
- Nhẩm nhanh biểu thức giới hạn: Nhìn vào $\frac{x^2-4}{x-2}$, bạn thấy ngay nó rút gọn còn $(x+2)$. Thay $x=2$ vào được 4.
- Thiết lập phương trình nhẩm: $m + 1 = 4$.
- Kết quả: $m = 3$ (Chưa đầy 10 giây).
Mẹo máy tính Casio: Nếu biểu thức phức tạp, bạn nhập $\frac{X^2-4}{X-2}$ vào máy tính rồi nhấn phím CALC với $X = 2.000001$. Máy sẽ hiện kết quả xấp xỉ 4, sau đó bạn giải $m+1 = 4$.