GIỚI HẠN – HÀM SỐ LIÊN TỤC
Thời gian làm bài: 90 phút
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (7,0 điểm)
Câu 1: Giới hạn $\lim \frac{1}{n}$ bằng:
A. $+\infty$
B. $-\infty$
C. $0$
D. $1$
Câu 2: Cho $\lim u_n = L$. Khi đó $\lim \sqrt{u_n}$ (với $u_n \ge 0, L \ge 0$) bằng:
A. $L$
B. $\sqrt{L}$
C. $L^2$
D. $\frac{L}{2}$
Câu 3: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$ ($|q| < 1$) là:
A. $S = \frac{u_1}{1-q}$
B. $S = \frac{u_1}{1+q}$
C. $S = u_1(1-q)$
D. $S = \frac{1-q}{u_1}$
Câu 4: Hàm số $y = f(x)$ liên tục tại điểm $x_0$ khi:
A. $f(x_0)$ tồn tại
B. $\lim_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại
C. $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
D. $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$
Câu 5: Tính giới hạn $L = \lim \frac{2n + 1}{n – 3}$:
A. $L = 2$
B. $L = -\frac{1}{3}$
C. $L = +\infty$
D. $L = 1$
Câu 6: Tính $\lim_{x \to 2} (x^2 – 3x + 1)$:
A. $1$
B. $-1$
C. $11$
D. $0$
Câu 7: Cho hàm số $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$. Hàm số gián đoạn tại:
A. $x = -1$
B. $x = 0$
C. $x = 1$
D. $x = 2$
Câu 8: Tính $L = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 – 1}{2x^2 + 3}$:
A. $L = 0$
B. $L = \frac{1}{2}$
C. $L = +\infty$
D. $L = -\frac{1}{3}$
Câu 9: Giới hạn $\lim \frac{3^n – 4^n}{3^n + 4^n}$ bằng:
A. $1$
B. $-1$
C. $0$
D. $\frac{3}{4}$
Câu 10: Cho cấp số nhân lùi vô hạn có $u_1 = 1$ và $q = -\frac{1}{2}$. Tổng $S$ là:
A. $S = \frac{2}{3}$
B. $S = \frac{3}{2}$
C. $S = 2$
D. $S = \frac{1}{2}$
Câu 11: Tính $L = \lim_{x \to 1^-} \frac{x+2}{x-1}$:
A. $L = +\infty$
B. $L = -\infty$
C. $L = 3$
D. $L = 1$
Câu 12: Tính $L = \lim_{x \to -\infty} (x^3 – 2x^2 + 1)$:
A. $L = +\infty$
B. $L = -\infty$
C. $L = 1$
D. $L = 0$
Câu 13: Giới hạn $L = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ bằng:
A. $1$
B. $\frac{1}{2}$
C. $0$
D. $2$
Câu 14: Hàm số nào sau đây liên tục trên $\mathbb{R}$?
A. $y = \tan x$
B. $y = \frac{x}{x^2+1}$
C. $y = \sqrt{x-1}$
D. $y = \frac{1}{x}$
Câu 15: Cho $\lim_{x \to x_0} f(x) = 3$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = -2$. Tính $\lim_{x \to x_0} [2f(x) – g(x)]$:
A. $4$
B. $8$
C. $1$
D. $7$
Câu 16: Tìm khẳng định sai:
A. $\lim q^n = 0$ ($|q| < 1$)
B. $\lim \frac{1}{n^k} = 0$ ($k \in \mathbb{N}^*$)
C. $\lim n^k = +\infty$ ($k \in \mathbb{N}^*$)
D. $\lim c = 0$ ($c$ là hằng số)
Câu 17: Tính $L = \lim \frac{1+2+3+\dots+n}{n^2+1}$:
A. $L = 0$
B. $L = 1$
C. $L = \frac{1}{2}$
D. $L = +\infty$
Câu 18: Cho $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ khi $x \neq 1$ và $f(1) = m$. Tìm $m$ để hàm số liên tục tại $x=1$:
A. $m = 1$
B. $m = 2$
C. $m = 0$
D. $m = -1$
Câu 19: Tính $L = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} – x)$:
A. $L = 0$
B. $L = +\infty$
C. $L = \frac{1}{2}$
D. $L = 1$
Câu 20: Giới hạn $L = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x}-1}{x-1}$ bằng:
A. $L = \frac{1}{3}$
B. $L = 1$
C. $L = 3$
D. $L = 0$
Câu 21: Cho phương trình $x^3 – 3x + 1 = 0$. Khẳng định nào đúng?
A. Phương trình vô nghiệm.
B. Có ít nhất một nghiệm trong $(-1; 1)$.
C. Phương trình chỉ có nghiệm dương.
D. Phương trình vô nghiệm trong $(0; 2)$.
Câu 22: Tính $L = \lim \frac{\sqrt{4n^2+1} – n}{2n + 3}$:
A. $L = \frac{1}{2}$
B. $L = 1$
C. $L = 2$
D. $L = \frac{3}{2}$
Câu 23: Giới hạn $L = \lim_{x \to 2^+} \frac{|2-x|}{2x-4}$ bằng:
A. $\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $0$
D. Không tồn tại
Câu 24: Tìm $a$ để $f(x) = \begin{cases} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} & x > 1 \\ ax + 1 & x \le 1 \end{cases}$ liên tục tại $x=1$:
A. $a=1$
B. $a=2$
C. $a=0$
D. $a=-1$
Câu 25: Tính $L = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$:
A. $L = 1$
B. $L = -1$
C. $L = 0$
D. $L = +\infty$
Câu 26: Cho $(u_n)$ thỏa $|u_n – 2| < \frac{1}{n}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$. Khi đó $\lim u_n$ bằng:
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. Không tồn tại
Câu 27: Tính tổng $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots$:
A. $S = \frac{3}{2}$
B. $S = 2$
C. $S = \frac{4}{3}$
D. $S = 3$
Câu 28: Nếu $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a).f(b) < 0$ thì phương trình $f(x)=0$:
A. Vô nghiệm trên khoảng $(a; b)$.
B. Có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(a; b)$.
C. Luôn đồng biến trên khoảng $(a; b)$.
D. Luôn nghịch biến trên khoảng $(a; b)$.
PHẦN II: TỰ LUẬN (3,0 điểm)
Câu 1 (1,0 điểm): Tính các giới hạn:
a) $A = \lim \frac{\sqrt{n^2 + 2n} – n}{3n + 1}$
b) $B = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x – 3}{x – 1}$
Câu 2 (1,0 điểm): Xét tính liên tục của hàm số tại $x_0 = 2$:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 – 4}{x – 2} & \text{khi } x \neq 2 \\ 4 & \text{khi } x = 2 \end{cases}$$
Câu 3 (1,0 điểm): Tìm tham số $m$ để hàm số sau liên tục tại $x = 0$:
$$f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x+1} – 1}{x} & \text{khi } x > 0 \\ 2x + m^2 – 3m & \text{khi } x \le 0 \end{cases}$$