HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
Thời gian: 90 phút
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (35 CÂU – 7,0 ĐIỂM)
Câu 1: Với $a$ là số thực dương tùy ý, $a^2 \cdot \sqrt[3]{a}$ bằng:
A. $a^{\frac{5}{3}}$
B. $a^{\frac{2}{3}}$
C. $a^{\frac{7}{3}}$
D. $a^{\frac{1}{3}}$
Câu 2: Cho $0 < a \neq 1$, giá trị của $\log_a \sqrt{a}$ là:
A. $2$
B. $\frac{1}{2}$
C. $-2$
D. $\frac{1}{4}$
Câu 3: Tập xác định của hàm số $y = (x-1)^{-4}$ là:
A. $\mathbb{R}$
B. $(1; +\infty)$
C. $\mathbb{R} \setminus \{1\}$
D. $[1; +\infty)$
Câu 4: Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng $(0; +\infty)$?
A. $y = \log_2 x$
B. $y = \log_{\frac{\pi}{4}} x$
C. $y = \log_{\sqrt{3}} x$
D. $y = \log_e x$
Câu 5: Nghiệm của phương trình $5^{x-1} = 25$ là:
A. $x = 2$
B. $x = 1$
C. $x = 3$
D. $x = 4$
Câu 6: Cho $a > 0, b > 0$, biểu thức $\log(ab^2)$ bằng:
A. $\log a + 2\log b$
B. $2(\log a + \log b)$
C. $\log a + \frac{1}{2}\log b$
D. $\log a – 2\log b$
Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình $2^x < 8$ là:
A. $(-\infty; 3)$
B. $(3; +\infty)$
C. $(-\infty; 4)$
D. $(2; +\infty)$
Câu 8: Cho $\log_2 3 = a$. Tính $\log_2 9$ theo $a$:
A. $a^2$
B. $3a$
C. $2a$
D. $a+2$
Câu 9: Đồ thị hàm số $y = a^x$ và $y = \log_a x$ ($0 < a \neq 1$) đối xứng nhau qua đường thẳng:
A. $y = 0$
B. $x = 0$
C. $y = x$
D. $y = -x$
Câu 10: Tập xác định của hàm số $y = \ln(x^2 – 1)$ là:
A. $(-1; 1)$
B. $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$
C. $\mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}$
D. $(1; +\infty)$
Câu 11: So sánh $M = \sqrt[3]{5}$ và $N = \sqrt[5]{3}$, khẳng định nào đúng?
A. $M < N$
B. $M = N$
C. $M > N$
D. Không so sánh được
Câu 12: Phương trình $\log_3(2x-1) = 2$ có nghiệm là:
A. $x = 5$
B. $x = \frac{9}{2}$
C. $x = 4$
D. $x = \frac{11}{2}$
Câu 13: Cho biểu thức $P = \sqrt[4]{x \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot \sqrt{x}}}$. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $P = x^{\frac{13}{24}}$
B. $P = x^{\frac{11}{24}}$
C. $P = x^{\frac{1}{2}}$
D. $P = x^{\frac{5}{8}}$
Câu 14: Hàm số $y = (a-2)^x$ là hàm số mũ khi:
A. $a > 2$
B. $a > 2$ và $a \neq 3$
C. $a \neq 3$
D. $a < 2$
Câu 15: Tính giá trị biểu thức $A = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 8$:
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $4$
Câu 16: Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}}(x-1) \ge -2$ là:
A. $(1; 5]$
B. $[1; 5]$
C. $(-\infty; 5]$
D. $(1; 5)$
Câu 17: Cho hàm số $f(x) = \frac{9^x}{9^x + 3}$. Tính tổng $S = f(\frac{1}{2024}) + f(\frac{2023}{2024})$:
A. $1$
B. $2$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{4}$
Câu 18: Phương trình $9^x – 3^{x+1} – 4 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 19: Đường cong của hàm số $y = \log_a x$ (với $a > 1$) có đặc điểm:
A. Luôn đi qua điểm $(0;1)$
B. Luôn nằm bên phải trục tung
C. Có tiệm cận ngang là trục hoành
D. Nghịch biến trên tập xác định
Câu 20: Tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình $4^x – 2^{x+1} + m = 0$ có nghiệm:
A. $m \le 1$
B. $m < 1$
C. $m > 0$
D. $m \ge 1$
Câu 21: Tìm $x$ biết $\log_2 x + \log_2(x-1) = 1$:
A. $x = 2$
B. $x = 1$
C. $x = -1$
D. $x = 3$
Câu 22: Một người gửi tiết kiệm lãi suất 7%/năm (lãi kép). Sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu?
A. 9 năm
B. 10 năm
C. 11 năm
D. 12 năm
Câu 23: Cho $a, b > 0$ và $a^2 + b^2 = 7ab$. Khẳng định nào đúng?
A. $2\log(a+b) = \log a + \log b$
B. $\log \frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(\log a + \log b)$
C. $\log(a+b) = \frac{3}{2}(\log a + \log b)$
D. $2\log \frac{a+b}{3} = \log a – \log b$
Câu 24: Giải bất phương trình $3^{x^2 – 4} < 27$:
A. $- \sqrt{7} < x < \sqrt{7}$
B. $x < \sqrt{7}$
C. $x > 3$
D. $2 < x < 3$
Câu 25: Nếu $\log_a b > 0$ và $a > 1$ thì:
A. $b > 1$
B. $0 < b < 1$
C. $b > 0$
D. $b = 1$
Câu 26: Biểu thức $\sqrt{x \sqrt{x \sqrt{x}}}$ viết dưới dạng lũy thừa là:
A. $x^{\frac{1}{8}}$
B. $x^{\frac{7}{8}}$
C. $x^{\frac{3}{4}}$
D. $x^{\frac{1}{2}}$
Câu 27: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình $\log_3(x^2 – 1) \le 1$:
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
Câu 28: Phương trình $\log_2^2 x – \log_2(8x) + 3 = 0$ tương đương với phương trình nào?
A. $\log_2^2 x – \log_2 x = 0$
B. $\log_2^2 x – \log_2 x – 6 = 0$
C. $\log_2^2 x – \log_2 x – 3 = 0$
D. $\log_2^2 x – \log_2 x + 6 = 0$
Câu 29: Với $a, b$ dương và $a \neq 1$, giá trị $a^{4\log_{a^2} b}$ bằng:
A. $b^2$
B. $b^4$
C. $b^8$
D. $b$
Câu 30: Hàm số $y = \log_2(x^2 – 2x + m)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi:
A. $m > 1$
B. $m \ge 1$
C. $m < 1$
D. $m > 0$
Câu 31: Nếu $\log_{12} 6 = a, \log_{12} 7 = b$ thì $\log_2 7$ bằng:
A. $\frac{a}{1-b}$
B. $\frac{b}{1-a}$
C. $\frac{a}{1+b}$
D. $\frac{b}{1+a}$
Câu 32: Tìm tổng các nghiệm của phương trình $2^{x^2-x} = 4$:
A. 1
B. 2
C. -1
D. 0
Câu 33: Cho $x, y > 0$ thỏa mãn $\log_9 x = \log_{12} y = \log_{16}(x+y)$. Tính tỉ số $\frac{x}{y}$:
A. $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
B. $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{4}$
Câu 34: Bất phương trình $m \cdot 9^x – (2m+1) \cdot 3^x + m + 1 > 0$ nghiệm đúng với mọi $x$ khi:
A. $m > 0$
B. $m \ge 0$
C. $m > -1$
D. $m \le 0$
Câu 35: Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $0 \le x \le 2024$ và $\log_3(3x+3) + x = 2y + 9^y$?
A. 2
B. 4
C. 7
D. 2024
PHẦN II: TỰ LUẬN (3,0 ĐIỂM)
Bài 1 (1,0 điểm):
Rút gọn biểu thức sau: $A = \frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y} + y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y}}$ (với $x, y > 0$).
Bài 2 (1,0 điểm):
Giải phương trình sau: $\log_2(x^2 – x + 2) = \log_2(x+5)$.
Bài 3 (1,0 điểm):
Cường độ ánh sáng khi đi qua môi trường nước giảm dần theo công thức $I = I_0 \cdot e^{-\mu x}$, trong đó $I_0$ là cường độ ánh sáng ban đầu (tại mặt nước), $x$ là độ sâu (mét) và $\mu$ là hệ số hấp thụ của nước ($\mu \approx 1,4$ đối với nước biển). Hỏi ở độ sâu bao nhiêu mét thì cường độ ánh sáng chỉ còn bằng $10\%$ so với cường độ ánh sáng tại mặt nước?