QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (7,0 ĐIỂM – 28 CÂU)
Câu 1: Trong không gian, qua 3 điểm không thẳng hàng, ta xác định được bao nhiêu mặt phẳng?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. Vô số.
Câu 2: Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa $a$ và song song với $b$?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
Câu 3: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hình biểu diễn của hình vuông là hình bình hành.
B. Hình biểu diễn của một tam giác cân là một tam giác cân.
C. Hình biểu diễn của một đường tròn là một đường elip.
D. Phép chiếu song song bảo toàn tính song song của hai đường thẳng.
Câu 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là:
A. Đường thẳng qua $S$ và song song với $AD$.
B. Đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$.
C. Đường thẳng $SO$ ($O$ là giao hai đường chéo).
D. Đường thẳng $SA$.
Câu 5: Nếu $a \parallel (\alpha)$ và đường thẳng $b \subset (\alpha)$ thì $a$ và $b$ có thể:
A. Song song hoặc chéo nhau.
B. Cắt nhau.
C. Trùng nhau.
D. Luôn chéo nhau.
Câu 6: Hai mặt phẳng song song với nhau khi:
A. Chúng cùng song song với một đường thẳng.
B. Có một mặt phẳng thứ ba cắt cả hai mặt phẳng đó.
C. Mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.
D. Chúng không có điểm chung và cùng nằm trong một mặt cầu.
Câu 7: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BB’$ và $CC’$. Đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?
A. $(ABC)$.
B. $(AA’B’B)$.
C. $(ACC’A’)$.
D. $(AMN)$.
Câu 8: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Gọi $H$ là trung điểm của $A’B’$. Mặt phẳng $(AHC’)$ cắt lăng trụ theo thiết diện là hình gì?
A. Tam giác.
B. Hình bình hành.
C. Hình thang.
D. Hình chữ nhật.
Câu 9: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $d$ là giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $d$ qua $S$ và song song với $AB$.
B. $d$ qua $S$ và song song với $BC$.
C. $d$ là đường thẳng $SO$.
D. $d$ trùng với $SD$.
Câu 10: Cho đường thẳng $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. Nếu mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ và cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì:
A. $a$ cắt $b$.
B. $a \parallel b$.
C. $a$ và $b$ chéo nhau.
D. $a \perp b$.
Câu 11: Cho hình chóp $S.ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $G$ và song song với $(BCD)$. Thiết diện của hình chóp cắt bởi $(\alpha)$ là:
A. Một điểm.
B. Một đoạn thẳng.
C. Một tam giác.
D. Một tứ giác.
Câu 12: Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng:
A. Song song.
B. Cắt nhau.
C. Song song hoặc trùng nhau.
D. Chéo nhau.
Câu 13: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Mặt phẳng $(AB’D’)$ song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. $(BA’C’)$.
B. $(C’BD)$.
C. $(BC’D)$.
D. $(ACD’)$.
Câu 14: Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $G, K$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB$ và $SBC$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $GK \parallel (SAC)$.
B. $GK \parallel (ABC)$.
C. $GK \perp (ABC)$.
D. $GK$ chéo $AC$.
Câu 15: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N, P, Q, R, S$ là trung điểm các cạnh $AB, CD, BC, AD, AC, BD$. $MN, PQ, RS$ cắt nhau tại $G$. $G$ là:
A. Trọng tâm của tứ diện.
B. Tâm đường tròn ngoại tiếp.
C. Trực tâm của tứ diện.
D. Tâm đường tròn nội tiếp.
Câu 16: Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$. Gọi $I, J, K$ lần lượt là tâm của các mặt bên. Mặt phẳng $(IJK)$ song song với mặt phẳng:
A. $(ABC)$.
B. $(AA’B’B)$.
C. $(BCC’B’)$.
D. $(ACC’A’)$.
Câu 17: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Đường thẳng $AC’$ đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $BDA’$. Tỉ số $\frac{AG}{AC’}$ bằng:
A. $1/2$.
B. $1/3$.
C. $1/4$.
D. $2/3$.
Câu 18: Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Hình chiếu song song của $G$ lên mặt phẳng $(\alpha)$ là $G’$. Khẳng định nào đúng?
A. $G’$ là trọng tâm của tam giác $A’B’C’$.
B. $G’$ là trung điểm của $A’B’$.
C. $G’$ nằm ngoài tam giác $A’B’C’$.
D. $A’G’ = B’G’ = C’G’$.
Câu 19: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm $SD$. Giao điểm của $BM$ với mặt phẳng $(SAC)$ là:
A. Giao điểm của $BM$ với $SO$ ($O$ là tâm đáy).
B. Giao điểm của $BM$ với $SA$.
C. Giao điểm của $BM$ với $SC$.
D. Điểm $M$.
Câu 20: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $I, J$ là trung điểm của $SA, SB$. Khẳng định nào sai?
A. $IJ \parallel (SCD)$.
B. $IJ \parallel (ABCD)$.
C. $IJ \parallel CD$.
D. $IJ$ cắt $AD$.
Câu 21: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thang ($AB \parallel CD, AB = 2CD$). Gọi $M$ là trung điểm $SA$. $(MBC)$ cắt $SD$ tại $N$. Tỉ số $SN/SD$ là:
A. $1/2$.
B. $1/3$.
C. $2/3$.
D. $3/4$.
Câu 22: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G_1, G_2, G_3$ là trọng tâm các tam giác $ABC, ACD, ABD$. Phát biểu nào sai?
A. $(G_1G_2G_3) \parallel (BCD)$.
B. $G_1G_2 \parallel CD$.
C. $G_1G_3 \parallel BC$.
D. $\triangle G_1G_2G_3$ đồng dạng với $\triangle BCD$ tỉ số $k = 2/3$.
Câu 23: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Hình chiếu song song của điểm $A’$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ theo phương chiếu $CC’$ là:
A. Điểm $A$.
B. Điểm $B$.
C. Điểm $C$.
D. Điểm $D$.
Câu 24: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. $M$ là trung điểm $SC$. Mặt phẳng $(P)$ qua $AM, \parallel BD$ cắt $SB, SD$ tại $E, F$. Tỉ số $SE/SB$ là:
A. $1/2$.
B. $1/3$.
C. $2/3$.
D. $1/4$.
Câu 25: Cho hình chóp $S.ABC$. $M \in SA$ sao cho $SM=2MA, N \in BC$ sao cho $NC=2NB$. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua $MN, \parallel AB$ là:
A. Tam giác.
B. Hình thang.
C. Hình bình hành.
D. Tứ giác.
Câu 26: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thì song song với nhau.
C. Nếu $a \parallel (P)$ thì tồn tại trong $(P)$ một đường thẳng $b$ sao cho $b \parallel a$.
D. Nếu một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cũng cắt mặt phẳng còn lại.
Câu 27: Cho lăng trụ $ABC.A’B’C’$. $M, N$ là trung điểm $BB’, CC’$. Giao điểm của $AM$ với mặt phẳng $(A’BC)$ là:
A. Điểm $M$.
B. Trung điểm của $A’B$.
C. Giao điểm của $AM$ và $A’B$.
D. Không có giao điểm.
Câu 28: Cho tứ diện $ABCD$. $M$ là trung điểm $AB$. Mặt phẳng $(P)$ qua $M, \parallel AC, BD$. Thiết diện là hình thoi khi:
A. $AC = BD$.
B. $AC \perp BD$.
C. $AB = CD$.
D. $AD = BC$.
PHẦN II: TỰ LUẬN (3.0 điểm)
Câu 1 (1.0 điểm): Nhận biết & Thông hiểu
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang ($AB \parallel CD$, $AB > CD$). Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$.
- a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$.
- b) Chứng minh rằng $CD$ song song với mặt phẳng $(SAB)$.
Câu 2 (1.0 điểm): Vận dụng
Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Gọi $G, G’$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $A’B’C’$.
- Chứng minh rằng đường thẳng $GG’$ song song với mặt phẳng $(ABB’A’)$ và mặt phẳng $(ACC’A’)$.
Câu 3 (1.0 điểm): Vận dụng cao
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là một điểm di động trên cạnh $SC$. Một mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $AM$ và song song với $BD$.
- a) Chứng minh $(\alpha)$ luôn đi qua một đường thẳng cố định khi $M$ di động.
- b) Gọi $E, F$ lần lượt là giao điểm của $(\alpha)$ với các cạnh $SB, SD$. Tìm vị trí của $M$ trên $SC$ để diện tích tứ giác $AEMF$ đạt giá trị nhỏ nhất (hoặc một tỉ lệ thể tích cụ thể).