Quan hệ vuông góc trong không gian
Thời gian: 90 PHÚT
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (7,0 ĐIỂM)
Câu 1: Trong không gian, cho hai đường thẳng song song $a$ và $b$. Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với $a$ thì:
A. $d // b$
B. $d \perp b$
C. $d$ và $b$ chéo nhau
D. $d$ và $b$ trùng nhau
Câu 2: Cho đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$. Đường thẳng $d$ vuông góc với bao nhiêu đường thẳng nằm trong $(\alpha)$?
A. 1
B. 2
C. Vô số
D. 0
Câu 3: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu đường thẳng $d \perp (\alpha)$ thì $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha)$.
B. Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(\alpha)$ thì $d \perp (\alpha)$.
C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
D. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì cắt nhau.
Câu 4: Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
Câu 5: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc nào?
A. $\widehat{SBA}$
B. $\widehat{SAB}$
C. $\widehat{SBC}$
D. $\widehat{ASB}$
Câu 6: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$. Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $B’D’$ bằng:
A. $45^\circ$
B. $90^\circ$
C. $60^\circ$
D. $30^\circ$
Câu 7: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $BC \perp (SAB)$
B. $BC \perp (SAC)$
C. $AB \perp (SBC)$
D. $AC \perp (SBC)$
Câu 8: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Hình chóp đều có đáy là đa giác đều.
B. Hình chóp đều có các cạnh bên bằng nhau.
C. Hình chóp có đáy là đa giác đều là hình chóp đều.
D. Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy.
Câu 9: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$. Mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nào dưới đây?
A. $(AA’B’B)$
B. $(BCC’B’)$
C. $(A’B’C’D’)$
D. $(ADD’A’)$
Câu 10: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ và $SA=SC$, $SB=SD$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $SO \perp (ABCD)$
B. $SA \perp (ABCD)$
C. $SD \perp (ABCD)$
D. $AC \perp (SBD)$
Câu 11: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(\alpha)$ và $(\beta)$ được tính bằng:
A. Khoảng cách từ một điểm bất kỳ của $(\alpha)$ đến $(\beta)$.
B. Độ dài một đường thẳng cắt cả hai mặt phẳng.
C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng đó.
D. Không xác định được.
Câu 12: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$. Độ dài đường chéo $AC’$ của hình lập phương là:
A. $a\sqrt{2}$
B. $a\sqrt{3}$
C. $2a$
D. $a$
Câu 13: Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng $(P)$ là $\varphi$. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
A. $0^\circ \le \varphi \le 90^\circ$
B. $0^\circ < \varphi < 90^\circ$
C. $0^\circ \le \varphi \le 180^\circ$
D. $90^\circ \le \varphi \le 180^\circ$
Câu 14: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$. Khi đó hình chiếu vuông góc của $S$ lên $BC$ là điểm nào (biết $S$ không trùng $A$)?
A. Điểm $B$
B. Điểm $C$
C. Điểm $H$
D. Một điểm khác $H$
Câu 15: Cho hình vuông $ABCD$ có tâm $I$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $I$, lấy điểm $S$. Khi đó, khoảng cách từ $S$ đến các đỉnh của hình vuông:
A. Bằng nhau
B. Khác nhau đôi một
C. $SA=SB \ne SC=SD$
D. $SA=SC \ne SB=SD$
Câu 16: Cho mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với nhau theo giao tuyến $d$. Nếu đường thẳng $a$ nằm trong $(P)$ và $a \perp d$ thì:
A. $a \perp (Q)$
B. $a // (Q)$
C. $a \subset (Q)$
D. $a$ cắt $(Q)$ tại góc $45^\circ$
Câu 17: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Chiều cao $SA = a$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$
B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$
C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$
D. $\frac{a^3}{3}$
Câu 18: Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là $a, 2a, 3a$. Thể tích của khối hộp chữ nhật đó bằng:
A. $6a^3$
B. $2a^3$
C. $a^3$
D. $3a^3$
Câu 19: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác vuông tại $A$, $AB = a, AC = a\sqrt{3}$. Cạnh bên $AA’ = 2a$. Thể tích khối lăng trụ là:
A. $a^3\sqrt{3}$
B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$
C. $2a^3\sqrt{3}$
D. $\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$
Câu 20: Thể tích khối lập phương có cạnh bằng $2a$ là:
A. $2a^3$
B. $4a^3$
C. $6a^3$
D. $8a^3$
Câu 21: Nếu một khối chóp có diện tích đáy tăng lên 2 lần và chiều cao giảm đi 6 lần thì thể tích của nó sẽ:
A. Tăng 2 lần
B. Giảm 3 lần
C. Giảm 4 lần
D. Không đổi
Câu 22: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA \perp (ABCD)$. Biết góc giữa $SC$ và đáy bằng $45^\circ$. Chiều cao $SA$ của hình chóp bằng:
A. $a$
B. $a\sqrt{2}$
C. $a\sqrt{3}$
D. $2a$
Câu 23: Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A’B’C’$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Thể tích khối lăng trụ là:
A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$
C. $\frac{a^3}{4}$
D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$
Câu 24: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
B. Hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với nhau.
C. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì nằm trong mặt phẳng chứa đường này và song song với đường kia.
D. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường này đến đường kia.
Câu 25: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, chiều cao $SO = a$. Tính thể tích khối chóp.
A. $\frac{a^3}{3}$
B. $a^3$
C. $\frac{a^3}{6}$
D. $\frac{a^3}{2}$
Câu 26: Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, góc $\widehat{ABC} = 60^\circ$. Chiều cao $AA’ = a\sqrt{3}$. Tính thể tích khối lăng trụ.
A. $\frac{3a^3}{2}$
B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{a^3}{2}$
D. $a^3\sqrt{3}$
Câu 27: Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt phẳng có thể là:
A. Một điểm hoặc một đường thẳng.
B. Luôn là một đường thẳng.
C. Một đường tròn.
D. Một tam giác.
Câu 28: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$, $SA$ vuông góc với đáy. Biết $AB=a, BC=a\sqrt{3}$. Tính diện tích đáy $S_{\triangle ABC}$.
A. $a^2\sqrt{3}$
B. $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{a^2\sqrt{3}}{3}$
D. $a^2$
Câu 29: Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $(P)$ là:
A. Độ dài đoạn thẳng nối $M$ với một điểm bất kỳ trên $(P)$.
B. Độ dài đoạn vuông góc kẻ từ $M$ đến $(P)$.
C. Độ dài bé nhất trong các đoạn thẳng nối $M$ với các điểm không nằm trên $(P)$.
D. Khoảng cách từ $M$ đến giao tuyến của hai mặt phẳng bất kỳ.
Câu 30: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$. Khối chóp có cùng diện tích đáy và chiều cao với khối lăng trụ đó có thể tích là:
A. $V$
B. $\frac{1}{3}V$
C. $3V$
D. $\frac{1}{2}V$
Câu 31 (Mức độ Vận dụng): Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $CC’$.
A. $a$
B. $a\sqrt{2}$
C. $a\sqrt{3}$
D. $a/2$
Câu 35: Cho khối chóp có diện tích đáy $B = 6a^2$ và chiều cao $h = 2a$. Thể tích $V$ của khối chóp đã cho là:
A. $12a^3$
B. $4a^3$
C. $6a^3$
D. $2a^3$
PHẦN II. TỰ LUẬN (3,0 ĐIỂM)
(Trình bày chi tiết lời giải)
Bài 1 (1,0 điểm): Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và $SA = a\sqrt{3}$.
a) Chứng minh rằng $BD \perp (SAC)$.
b) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$.
Bài 2 (1,0 điểm): Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $AB = BC = a$. Biết khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A’BC)$ bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$.
Bài 3 (1,0 điểm – Vận dụng cao): Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Biết góc giữa mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $60^\circ$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$.